Determine o comprimento da curva
(7)
lx(t)=e^t-t y(t)=4 e^t2.

Passo 1

O enunciado pede para achar o comprimento da curva parametrizada por
x(t)=e^t - t,
y(t)=4e^t/2,
no intervalo tin[0,1]. O conteúdo é comprimento de curvas paramétricas, e vamos precisar da fórmula do arco de curva e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
x'(t)=ddt(e^t - t)=e^t-1,
y'(t)=ddtl(4e^t/2r)=4cdottfrac12e^t/2=2e^t/2
A fórmula do comprimento é
L=integral0^1raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Agora simplificamos o integrando:
l(e^t-1r)^2+l(2e^t/2r)^2=e^2t-2e^t+1+4e^t=e^2t+2e^t+1=l(e^t+1r)^2
Logo
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2=e^t+1

Passo 4

Por fim, integramos:
L=integral0^1(e^t+1),dt=l[e^t+tr]0^1=(e+1)-(1+0)=e

Resposta

e

Exercícios relacionados