Determine o comprimento da curva
(7)
lx(t)=e^t+e^-t y(t)=5-2 t.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! A questão pede o comprimento de uma curva paramétrica
C: x(t)=e^t+e^-t, y(t)=5-2t, tin[0,3]
Matéria: cálculo do comprimento de curvas paramétricas. O que a gente precisa:
  1. A fórmula do comprimento
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt
  1. Calcular as derivadas dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Vamos achar as derivadas:
dxdt=ddtl(e^t+e^-tr) = e^t-e^-t, dydt=ddt(5-2t)=-2
Então o integrando vira
raizl(e^t-e^-tr)^2+(-2)^2 =raizl(e^t-e^-tr)^2+4

Passo 3

Agora simplifica o que está dentro da raiz:
l(e^t-e^-tr)^2+4 =e^2t-2+e^-2t+4 =e^2t+e^-2t+2 =l(e^t+e^-tr)^2
Então a raiz fica simplesmente
raizl(e^t+e^-tr)^2 =e^t+e^-t
(positivo, porque e^t+e^-t>0).
Logo
L=integral0^3l(e^t+e^-tr),dt

Passo 4

Só faltar integrar:
integral e^t,dt=e^t, integral e^-t,dt=-e^-t
Então
L=l[e^t-e^-tr]0^3 =l(e^3-e^-3r)-l(e^0-e^0r) =e^3-e^-3-0 =e^3-e^-3

Resposta

boxedL=e^3-e^-3

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