Determine o comprimento da curva
(7)
lx(t)=2 cos ^3 t y(t)=2 sen^3 t.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
x(t)=2cos^3t,;y(t)=2sin^3t, com tin[0,2pi].
Conteúdo da matéria: comprimento de curva em coordenadas paramétricas.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do comprimento de curva
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt,
  1. Derivar x(t) e y(t) (regra da cadeia),
  2. Simplificar a raiz usando identidades trig,
  3. Calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, derivamos:
x(t)=2cos^3t ;Longrightarrow; x'(t)=2cdot3cos^2tcdot(-sin t)=-6cos^2t,sin t,
y(t)=2sin^3t ;Longrightarrow; y'(t)=2cdot3sin^2tcdotcos t=6sin^2t,cos t

Passo 3

Agora montamos o integrando:
(x')^2+(y')^2 =(-6cos^2t,sin t)^2+(6sin^2t,cos t)^2 =36cos^4t,sin^2t+36sin^4t,cos^2t
Fatorando 36cos^2t,sin^2t:
(x')^2+(y')^2 =36cos^2t,sin^2tl(cos^2t+sin^2tr) =36cos^2t,sin^2tcdot1 =36cos^2t,sin^2t
Logo
raiz(x')^2+(y')^2 =6,|cos t,sin t|
Aí o comprimento é
L=integral0^2pi6,|cos t,sin t|,dt

Passo 4

Usamos a identidade 2sin tcos t=sin2t, então
|cos t,sin t| =tfrac12,|sin2t| Longrightarrow 6,|cos t,sin t|=3,|sin2t|
Então
L =integral0^2pi3,|sin2t|,dt =3integral0^2pi|sin2t|,dt
Como sin2t tem período pi e a área de |sin u| num período é 2, temos
integral0^2pi|sin2t|,dt =12integral0^4pi|sin u|,du =12cdot(4cdot2)=4
Logo
L=3cdot4=12

Resposta

O comprimento da curva é L=12.

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