Calcule:
lim n +infty n^3+5 n+15 n^3+2 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão n . Esse exercício está ligado ao conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau influenciam o comportamento da função quando $ n $ cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ n^{3} $ e no denominador é $ 5n^{3} $. Esses termos vão dominar o comportamento da fração quando $ n $ fica muito grande.

Passo 3

Agora, para simplificar o cálculo do limite, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por $ n^{3} $, que é o maior grau presente. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 4

Dividindo cada termo por $ n^{3} $, a expressão fica:
n^3
Simplificando cada fração:
n^3n^3 + 5nn^3 + 1n^35n^3n^3 + 2nn^3 + 2n^3

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando $ n $ tende ao infinito. Os termos n , 5n^2, 1n^3 e 2n^2 vão se aproximar de zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande tende a zero.

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão simplificada:
1 + 0 + 05 + 0 + 0 = 15

Resposta

Então, o limite é 15.

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