Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão
. Esse exercício está ligado ao conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau influenciam o comportamento da função quando $ n $ cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ n^{3} $ e no denominador é $ 5n^{3} $. Esses termos vão dominar o comportamento da fração quando $ n $ fica muito grande.
Passo 3
Agora, para simplificar o cálculo do limite, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por $ n^{3} $, que é o maior grau presente. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão.
Passo 4
Dividindo cada termo por $ n^{3} $, a expressão fica:
Simplificando cada fração:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ n $ tende ao infinito. Os termos
,
,
e
vão se aproximar de zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande tende a zero.
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão simplificada:
Resposta
Então, o limite é
.