Seja L(y)(s) a transformada de Laplace da solução do PVI ly^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 sendo f(t)=l1, se 0 <= t<10, 0, se t >= 10
(1 ponto) Obtenha L(y)(s).

Passo 1

A questão apresenta o PVI y''+3y'+2y=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e forçamento f(t)=1 para 0<= t<10 e f(t)=0 para t>=10. Vamos usar transformada de Laplace de derivadas para achar Ly(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na EDO, lembrando que Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly'(s)=sY(s)-y(0), obtemos
s^2Y(s)+3,sY(s)+2Y(s)=Lf(t)(s)

Passo 3

Para achar Lf(t)(s), escrevemos
f(t)=1cdot u(t)-1cdot u(t-10)
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Lf(t)(s)=1s-e^-10ss=1-e^-10ss

Passo 4

Substituindo Lf(t)(s) na equação e isolando Y(s), temos
Y(s)=Lf(t)(s)s^2+3s+2 = 1-e^-10ss,(s+1),(s+2)

Resposta

Ly(s)=1-e^-10ss,(s+1),(s+2)

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