Sejam R>0 e considere a função f(x)=raizR^2-x^2 para -R <= x <= R. Faça um esboço do sólido S obtido pela rotação de f em torno do eixo x ? Calcule a área lateral de S e explique qual o problema em tentar obter a área de S através da rotação da região R limitada pela curva x^2+y^2=R^2 em torno do eixo x.

Passo 1

A função dada é f(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} no intervalo [-R,R]. Ao girar essa curva em torno do eixo x obtemos um sólido S que é exatamente uma esfera de raio R. Para calcular a área lateral de S vamos usar o conceito de superfície de revolução e a fórmula para area gerada pela rotação de uma curva.

Passo 2

Para superfície de revolução em torno do eixo x, a área lateral é dada por A=integrala^b2pi,y(x)raiz1+l(y'(x)r)^2,dx Aqui temos y(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} e a=-R, b=R.

Passo 3

Calculamos a derivada y’(x). Como y(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} temos y'(x)=ddxl(R^2-x^2r)^1/2=-xraizR^2-x^2 Em seguida, 1+l(y'(x)r)^2=1+x^2R^2-x^2=R^2R^2-x^2

Passo 4

Agora o fator de alongamento é raiz1+l(y'(x)r)^2=RraizR^2-x^2 Substituindo na fórmula de área, o integrando fica 2pi,y(x)raiz1+(y')^2=2pi,raizR^2-x^2cdotRraizR^2-x^2=2pi R

Passo 5

Portanto a área é A=integral-R^R2pi R,dx=2pi Rl[xr]-R^R=2pi R(2R)=4pi R^2

Passo 6

O problema de tentar obter essa área girando a região R (o disco preenchido) em torno do eixo x é que a rotação de uma região plana gera um volume, não uma superfície. Se você rodar o disco limitado por x^2+y^2=R^2 obterá a esfera maciça (volume), não apenas a sua casca (área). Além disso há uma confusão entre os teoremas de Pappus para volumes e para áreas: rotacionar uma curva gera uma área de revolução, mas rotacionar uma região gera um volume de revolução.

Resposta

A área lateral de S (a superfície da esfera de raio R) é 4\pi R^{2}.

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