Sejam
e considere a função
para
. Faça um esboço do sólido
obtido pela rotação de
em torno do eixo
? Calcule a área lateral de
e explique qual o problema em tentar obter a área de
através da rotação da região
limitada pela curva
em torno do eixo
.
Passo 1
A função dada é f(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} no intervalo [-R,R]. Ao girar essa curva em torno do eixo x obtemos um sólido S que é exatamente uma esfera de raio R. Para calcular a área lateral de S vamos usar o conceito de superfície de revolução e a fórmula para area gerada pela rotação de uma curva.
Passo 2
Para superfície de revolução em torno do eixo x, a área lateral é dada por
Aqui temos y(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} e a=-R, b=R.
Passo 3
Calculamos a derivada y’(x). Como y(x)=\sqrt{R{2}-x{2}} temos
Em seguida,
Passo 4
Agora o fator de alongamento é
Substituindo na fórmula de área, o integrando fica
Passo 5
Portanto a área é
Passo 6
O problema de tentar obter essa área girando a região
(o disco preenchido) em torno do eixo x é que a rotação de uma região plana gera um volume, não uma superfície. Se você rodar o disco limitado por
obterá a esfera maciça (volume), não apenas a sua casca (área). Além disso há uma confusão entre os teoremas de Pappus para volumes e para áreas: rotacionar uma curva gera uma área de revolução, mas rotacionar uma região gera um volume de revolução.
Resposta
A área lateral de S (a superfície da esfera de raio R) é 4\pi R^{2}.