Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão depende de
inteiro que tende a . - Há uma mistura de termos polinomiais em
e a função seno avaliada em , que tende a quando .
O que se busca: o valor real (se existir) para o limite acima quando
cresce sem limites.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável para transformar o problema em um limite quando uma variável tende a zero (forma mais fácil de manipular). Defina
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto a expressão do limite vira
Passo 3
Colocar em uma forma única para analisar indeterminação:
Logo o limite original é equivalente a
Agora observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
, então temos uma indeterminação do tipo
e podemos usar regras de cálculo (por exemplo L’Hôpital) para resolvê-la. Vou usar L’Hôpital porque exige apenas derivação simples e é um método direto que costuma estar disponível numa prova.
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital (como temos
, podemos derivar numerador e denominador):
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
é .
Assim o limite passa a ser
Verifique que ainda temos
(pois
), então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Portanto o limite transforma-se em
Passo 6
Avaliar o limite final:
Portanto o valor do limite reescrito em
é
, e por equivalência o limite original em
também é
.
(Ou, se preferir uma outra visão: pela expansão em série para
pequeno vale
. Então
e
. Isso confirma o resultado.)
Passo 7
Conclusão ordenada: o limite pedido existe e vale
.