Calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[n-n^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{n}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to+\infty}\left[n-n^{2}\,\operatorname{sen}\!\frac{1}{n}\right].
Informações dadas:
  • A expressão depende de n inteiro que tende a +\infty.
  • Há uma mistura de termos polinomiais em n e a função seno avaliada em 1/n, que tende a 0 quando n\to+\infty.
O que se busca: o valor real (se existir) para o limite acima quando n cresce sem limites.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável para transformar o problema em um limite quando uma variável tende a zero (forma mais fácil de manipular). Defina
x=\frac{1}{n}.
Quando n\to+\infty temos x\to 0^+. Reescrevendo a expressão em função de x:
n=\frac{1}{x},\qquad n^{2}=\frac{1}{x^{2}},\qquad \operatorname{sen}\frac{1}{n}=\operatorname{sen} x.
Portanto a expressão do limite vira
\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sen} x\right].

Passo 3

Colocar em uma forma única para analisar indeterminação:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\operatorname{sen} x=\frac{1}{x^{2}}\bigl(x-\operatorname{sen} x\bigr).
Logo o limite original é equivalente a
\lim_{x\to 0^+}\frac{x-\operatorname{sen} x}{x^{2}}.
Agora observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando x\to 0, então temos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0} e podemos usar regras de cálculo (por exemplo L’Hôpital) para resolvê-la. Vou usar L’Hôpital porque exige apenas derivação simples e é um método direto que costuma estar disponível numa prova.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital (como temos \tfrac{0}{0}, podemos derivar numerador e denominador):
  • Derivada do numerador x-\operatorname{sen} x em relação a x é 1-\cos x.
  • Derivada do denominador x^{2} é 2x.
Assim o limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{2x}.
Verifique que ainda temos \frac{0}{0} (pois \cos 0=1), então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
  • Derivada do numerador 1-\cos x é \sin x.
  • Derivada do denominador 2x é 2.
Portanto o limite transforma-se em
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2}.

Passo 6

Avaliar o limite final:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2}=\frac{1}{2}\cdot\sin 0=\frac{1}{2}\cdot 0=0.
Portanto o valor do limite reescrito em x é 0, e por equivalência o limite original em n também é 0.
(Ou, se preferir uma outra visão: pela expansão em série para x pequeno vale \operatorname{sen} x = x-\dfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}). Então x-\operatorname{sen} x\sim\dfrac{x^{3}}{6} e \dfrac{x-\operatorname{sen} x}{x^{2}}\sim\dfrac{x}{6}\to 0. Isso confirma o resultado.)

Passo 7

Conclusão ordenada: o limite pedido existe e vale 0.

Resposta

\,0\,

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