Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede o valor do limite
. - A expressão depende de
inteiro que tende a . - Observação útil para reconhecer a forma da expressão: a base
tende a quando , enquanto o expoente tende a . Portanto a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples): transformar o limite da potência em um limite envolvendo logaritmo natural, porque logaritmo transforma potências em produtos, o que facilita o cálculo. Isto é, se
e
, então
; também vale que
. Vamos aplicar isso à sequência
Defina
. Temos
Calcular
e então recuperar
. Vou explicar tudo passo a passo.
Passo 3
Uma desigualdade muito útil para
(válida para
) é
Vamos justificar rapidamente essa desigualdade de forma elementar (sem derivadas): use a representação integral
Para
tem-se
, então integrando obtemos
.
Também, para tem-se
, então
. Assim a desigualdade está provada.
Também, para
Passo 4
Aplicar a desigualdade ao nosso caso. Coloque
(observe que
). Então
Multiplicando tudo por
(positivo) obtemos
Agora simplificar cada termo. Primeiro o lado direito:
Esse termo tende a
quando
, pois
.
No lado esquerdo faça as contas passo a passo:
E
também tende a
quando
, pois
.
Portanto, temos a cadeia de desigualdades
com ambos os extremos tendendo a
. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), conclui-se que
Passo 5
Voltar à sequência original usando exponenciação. Como
e
, pela continuidade da função exponencial segue
Isto encerra a resolução. (Como comentário extra: outra forma curta é fazer
e ver
e usar
.)