Calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede o valor do limite \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}.
  • A expressão depende de n inteiro que tende a +\infty.
  • Observação útil para reconhecer a forma da expressão: a base \dfrac{n+2}{n+1} tende a 1 quando n\to\infty, enquanto o expoente tende a +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma simples): transformar o limite da potência em um limite envolvendo logaritmo natural, porque logaritmo transforma potências em produtos, o que facilita o cálculo. Isto é, se a_n>0 e a_n\to L, então \ln a_n \to \ln L; também vale que a_n=\exp(\ln a_n). Vamos aplicar isso à sequência
a_n=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}.
Defina \displaystyle b_n=\ln a_n. Temos
b_n=n\ln\!\left(\frac{n+2}{n+1}\right).
Calcular \lim b_n e então recuperar \lim a_n=\exp\!\big(\lim b_n\big). Vou explicar tudo passo a passo.

Passo 3

Uma desigualdade muito útil para \ln(1+t) (válida para t>-1) é
\frac{t}{1+t}\le \ln(1+t)\le t.
Vamos justificar rapidamente essa desigualdade de forma elementar (sem derivadas): use a representação integral
\ln(1+t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{1+u}\,du.
Para u\in[0,t] tem-se \dfrac{1}{1+u}\le 1, então integrando obtemos \ln(1+t)\le \int_0^t 1\,du = t.
Também, para u\in[0,t] tem-se \dfrac{1}{1+u}\ge \dfrac{1}{1+t}, então \ln(1+t)\ge \int_0^t \dfrac{1}{1+t}\,du = \dfrac{t}{1+t}. Assim a desigualdade está provada.

Passo 4

Aplicar a desigualdade ao nosso caso. Coloque t=\dfrac{1}{n+1} (observe que t>0). Então
\frac{\tfrac{1}{n+1}}{1+\tfrac{1}{n+1}} \le \ln\!\left(1+\tfrac{1}{n+1}\right) \le \tfrac{1}{n+1}.
Multiplicando tudo por n (positivo) obtemos
n\cdot\frac{\tfrac{1}{n+1}}{1+\tfrac{1}{n+1}} \le n\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n+1}\right) \le n\cdot\tfrac{1}{n+1}.
Agora simplificar cada termo. Primeiro o lado direito:
n\cdot\tfrac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.
Esse termo tende a 1 quando n\to\infty, pois \dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}.
No lado esquerdo faça as contas passo a passo:
n\cdot\frac{\tfrac{1}{n+1}}{1+\tfrac{1}{n+1}} = n\cdot\frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{1}{n+1}} = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\tfrac{n+2}{n+1}} = \frac{n}{n+2}.
E \dfrac{n}{n+2} também tende a 1 quando n\to\infty, pois \dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{2}{n+2}.
Portanto, temos a cadeia de desigualdades
\frac{n}{n+2}\le b_n \le \frac{n}{n+1},
com ambos os extremos tendendo a 1. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), conclui-se que
\lim_{n\to\infty} b_n = 1.

Passo 5

Voltar à sequência original usando exponenciação. Como b_n=\ln a_n e \lim b_n=1, pela continuidade da função exponencial segue
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim b_n} = e^{1}=e.
Isto encerra a resolução. (Como comentário extra: outra forma curta é fazer m=n+1 e ver \left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^n=(1+\tfrac{1}{m})^{m-1}=\dfrac{(1+\tfrac{1}{m})^m}{1+\tfrac{1}{m}} e usar \lim_{m\to\infty}(1+\tfrac{1}{m})^m=e.)

Resposta

e

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