Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral a_{n} abaixo:
\frac{1}{n} \sin \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n} e pede o limite quando n\to\infty:
a_{n}=\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}.
Queremos determinar, caso exista, \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Observação inicial sobre os termos: para todo n\in\mathbb{N} tem-se \dfrac{1}{n}>0 e \dfrac{1}{n}\le 1. Como \sin x>0 para x\in(0,\pi), em particular \sin\frac{1}{n}>0. Logo cada termo a_{n} é não negativo:
a_{n}\ge 0\quad\text{para todo }n.

Passo 3

Vamos usar uma desigualdade clássica para o seno em pequenos argumentos: para todo x\ge 0 vale
0\le \sin x \le x.
Mostro rapidamente por que isso é verdade: defina f(x)=x-\sin x. Tem-se f(0)=0 e
f'(x)=1-\cos x\ge 0\quad\text{para todo }x\ge 0,
pois \cos x\le 1. Assim f é crescente e, como f(0)=0, segue f(x)\ge 0, ou seja \sin x\le x. A desigualdade \sin x\ge 0 para x\ge 0 é óbvia.

Passo 4

Aplique a desigualdade do passo anterior ao valor x=\dfrac{1}{n} (que é \ge 0). Assim,
0\le \sin\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}.
Multiplicando todos os membros por \dfrac{1}{n} (positivo), obtemos uma desigualdade para a_{n}:
0 \le a_{n} = \frac{1}{n}\sin\frac{1}{n} \le \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Agora examinamos os limites das sequências encostantes: claramente
\lim_{n\to\infty} 0 = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0.
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem): se para todo n vale 0\le a_{n}\le \dfrac{1}{n^{2}} e as sequências limite dos extremos tendem a 0, então \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Passo 6

Complemento (intuição sobre velocidade de decaimento): usando a expansão em série de Taylor para \sin x em 0,
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\quad(x\to 0),
tomando x=\dfrac{1}{n} tem-se
a_{n}=\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{6n^{4}}+O\!\left(\frac{1}{n^{6}}\right),
o que também mostra claramente que a_{n}\to 0 e dá a ordem de grandeza a_{n}=O\!\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right).

Resposta

0

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