Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral
abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede o limite quando
:
Queremos determinar, caso exista,
.
Passo 2
Observação inicial sobre os termos: para todo
tem-se
e
. Como
para
, em particular
. Logo cada termo
é não negativo:
Passo 3
Vamos usar uma desigualdade clássica para o seno em pequenos argumentos: para todo
vale
Mostro rapidamente por que isso é verdade: defina
. Tem-se
e
pois
. Assim
é crescente e, como
, segue
, ou seja
. A desigualdade
para
é óbvia.
Passo 4
Aplique a desigualdade do passo anterior ao valor
(que é
). Assim,
Multiplicando todos os membros por
(positivo), obtemos uma desigualdade para
:
Passo 5
Agora examinamos os limites das sequências encostantes: claramente
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem): se para todo
vale
e as sequências limite dos extremos tendem a
, então
.
Passo 6
Complemento (intuição sobre velocidade de decaimento): usando a expansão em série de Taylor para
em
,
tomando
tem-se
o que também mostra claramente que
e dá a ordem de grandeza
.