Calcule:
(a)
, onde
;
(b)
, onde
;
©
, onde
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O problema pede para calcular limites de funções vetoriais em três itens distintos. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de funções reais e vetoriais, usando técnicas de manipulação algébrica (racionalização, fatoração), limites notáveis (como
e
) e, no item ©, interpretação do limite como derivada. Vamos precisar também lembrar que o limite de uma função vetorial é obtido componente a componente.
Passo 2
Para o item (a), temos
quando
.
Primeiro componente:
Primeiro componente:
Logo
.
Segundo componente: .
Terceiro componente: .
Portanto .
Segundo componente:
Terceiro componente:
Portanto
Passo 3
No item (b),
quando
.
Para a primeira componente usamos o limite notável :
Para a primeira componente usamos o limite notável
Para a segunda componente usamos
Para a terceira componente
.
Logo .
Logo
Passo 4
No item ©,
quando
.
Primeira componente (razão de polinômios):
Primeira componente (razão de polinômios):
então em
fica
.
Segunda componente é , pois
. Isso é exatamente a definição de derivada de
em
. Pelo regra da cadeia,
Segunda componente é
$$f’(t)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{t}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{t2}\Bigr)=\frac{\pi}{t2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{t}\bigr).
$$
Em isso dá
.
Terceira componente: .
Portanto .
Em
Terceira componente:
Portanto
Resposta
(a) (\tfrac12,1,0)
(b) (3,2,0)
© 3,i+\tfrac{\pi}{4},j+4,k
(b) (3,2,0)
© 3,i+\tfrac{\pi}{4},j+4,k