Calcule:
(a) lim t 1 F(t), onde F(t)=(raizt-1t-1, t^2, t-1t);
(b) lim t 0 F(t), onde F(t)=(tan 3 tt, e^2 t-1t, t^3);
© lim t 2 F(t), onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+cos pitt-2 j+2 t k.

Passo 1

O problema pede para calcular limites de funções vetoriais em três itens distintos. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de funções reais e vetoriais, usando técnicas de manipulação algébrica (racionalização, fatoração), limites notáveis (como tan x/xto1 e (e^x-1)/xto1) e, no item ©, interpretação do limite como derivada. Vamos precisar também lembrar que o limite de uma função vetorial é obtido componente a componente.

Passo 2

Para o item (a), temos F(t)=l(raiz t-1t-1,;t^2,;t-1tr) quando tto1.
Primeiro componente:
raiz t-1t-1 =(raiz t-1)(raiz t+1)(t-1)(raiz t+1) =t-1(t-1)(raiz t+1) =1raiz t+1
Logo limtto1raiz t-1t-1=11+1=tfrac12.
Segundo componente: limtto1t^2=1.
Terceiro componente: limtto1t-1t=0.
Portanto limtto1F(t)=(tfrac12,1,0).

Passo 3

No item (b), F(t)=l(tan3tt,;e^2t-1t,;t^3r) quando tto0.
Para a primeira componente usamos o limite notável tan x/xto1:
limtto0tan3tt=limtto0tan3t3tcdot3=1cdot3=3
Para a segunda componente usamos (e^x-1)/xto1:
limtto0e^2t-1t=limtto0e^2t-12tcdot2=1cdot2=2
Para a terceira componente limtto0t^3=0.
Logo limtto0F(t)=(3,2,0).

Passo 4

No item ©, F(t)=t^3-8t^2-4,i+cos(pi/t)t-2,j+2t,k quando tto2.
Primeira componente (razão de polinômios):
t^3-8t^2-4 =(t-2)(t^2+2t+4)(t-2)(t+2) =t^2+2t+4t+2,
então em t=2 fica (4+4+4)/4=12/4=3.
Segunda componente é limtto2cos(pi/t)-cos(pi/2)t-2, pois cos(pi/2)=0. Isso é exatamente a definição de derivada de f(t)=cos(pi/t) em t=2. Pelo regra da cadeia,
$$f’(t)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{t}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{t2}\Bigr)=\frac{\pi}{t2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{t}\bigr).
$$
Em f'(t)=-sinl(tfracpitr)cdotl(-pit^2r)=pit^2sinl(tfracpitr) isso dá t=2.
Terceira componente: pi4sin(pi/2)=pi4.
Portanto limtto22t=4.

Resposta

(a) (\tfrac12,1,0)
(b) (3,2,0)
© 3,i+\tfrac{\pi}{4},j+4,k

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