Calcule integral de superfície vetorial oiintS17 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(x, 1-y^2, z), no toro S17, que pode ser parametrizado por psi(theta, phi)=((2+cos (phi)) cos (theta), sen(phi),(2+cos (phi)) sen(theta)) , theta in[0,2 pi], phi in[0,2 pi] com vetor normal apontando para dentro do toro

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície vetorial oiintS17Fcdot n,dA sobre o toro parametrizado por psi(theta,phi), com o vetor normal apontando para dentro. O conteúdo aqui é integral de superfície de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência, lembrando que, como o normal desejado é o interno, invertendo o sinal do teorema.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência temos para o normal externo: oiintSFcdot nout,dA=integral triplaV(nablacdot F),dV. Como queremos o normal interno, vale oiintSFcdot nin,dA=-integral triplaV(nablacdot F),dV. Vamos então calcular nablacdot F.

Passo 3

O campo é F(x,y,z)=(x,1-y^2,z). Logo
nablacdot F=partial xpartial x+partial (1-y^2)partial y+partial zpartial z=1-2y+1=2-2y

Passo 4

A integral de volume fica
integral triplaV(2-2y),dV=2integral triplaVdV-2integral triplaVy,dV

Passo 5

Como o sólido é simétrico em y, obtemos integral triplaVy,dV=0. Logo
integral triplaV(2-2y),dV=2,Vtoro

Passo 6

O volume de um toro de raio maior R=2 e raio menor a=1 é área do círculo gerador vezes a circunferência do eixo:
Vtoro=(pi,a^2)times(2pi R)=pitimes(2picdot2)=4pi^2

Passo 7

Portanto
integral triplaV(2-2y),dV=2times4pi^2=8pi^2

Passo 8

Finalmente, invertendo o sinal para o normal interno:
oiintS17Fcdot n,dA=-8pi^2

Resposta

-8\pi^2

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