Calcule integral de superfície vetorial
do campo vetorial
, no toro
, que pode ser parametrizado por
com vetor normal apontando para dentro do toro
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície vetorial
sobre o toro parametrizado por
, com o vetor normal apontando para dentro. O conteúdo aqui é integral de superfície de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência, lembrando que, como o normal desejado é o interno, invertendo o sinal do teorema.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência temos para o normal externo:
. Como queremos o normal interno, vale
. Vamos então calcular
.
Passo 3
O campo é
. Logo
Passo 4
A integral de volume fica
Passo 5
Como o sólido é simétrico em
, obtemos
. Logo
Passo 6
O volume de um toro de raio maior
e raio menor
é área do círculo gerador vezes a circunferência do eixo:
Passo 7
Portanto
Passo 8
Finalmente, invertendo o sinal para o normal interno:
Resposta
-8\pi^2