Calcule \lim _{t \rightarrow t_{o}} F(t) nos casos abaixo.
F(t)=\left(\frac{t}{|t|}, 1,1,4 t, 2\right), \quad t_{o}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to0}F(t)
onde
F(t)=\bigl(\tfrac{t}{|t|},\,1,\,1,\,4t,\,2\bigr).
Aqui o conteúdo é limite de função vetorial, que se obtém compondo os limites de cada componente.

Passo 2

Lembrando que
\lim_{t\to0}F(t)
existe se, e somente se, existe
\lim_{t\to0}F_i(t)
para cada componente i e o vetor formado pelos limites dessas componentes é o limite vetorial.

Passo 3

Analisando componente a componente:
  1. Primeira componente: \tfrac{t}{|t|}.
    • Se t\to0^+, então \tfrac{t}{|t|}=+1.
    • Se t\to0^-, então \tfrac{t}{|t|}=-1.
      Como os limites laterais são diferentes, esse limite não existe.
  2. Segunda componente: constante 1, logo
    \lim_{t\to0}1=1.
  3. Terceira componente: constante 1, logo
    \lim_{t\to0}1=1.
  4. Quarta componente: 4t, então
    \lim_{t\to0}4t=0.
  5. Quinta componente: constante 2, logo
    \lim_{t\to0}2=2.

Passo 4

Como a primeira componente não tem limite quando t\to0, o vetor F(t) também não tem limite em t=0.

Resposta

O limite \lim_{t\to0}F(t) não existe.

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