Calcule \lim _{t \rightarrow t_{o}} F(t) nos casos abaixo.
F(t)=\left(\ln t, \frac{1}{\operatorname{tg} t}, t\right), \quad t_{o}=\pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
F(t)=\bigl(\ln t,\;\tfrac{1}{\tan t},\;t\bigr)
e pede \lim_{t\to t_{0}}F(t) com t_{0}=\pi/4. Para funções vetoriais contínuas em t_{0}, o limite é o vetor cujas componentes são os limites das componentes.

Passo 2

Analisando a primeira componente \ln t, como \ln t é contínua em t_{0}=\pi/4, temos
\lim_{t\to t_{0}}\ln t = \ln\bigl(t_{0}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

A segunda componente é 1/\tan t. Como \tan(\pi/4)=1\neq0, essa função é contínua em t_{0} e
\lim_{t\to t_{0}}\frac{1}{\tan t} =\frac{1}{\tan\bigl(t_{0}\bigr)} =\frac{1}{\tan(\pi/4)} =1.

Passo 4

A terceira componente é t, cujo limite em t_{0} é trivialmente
\lim_{t\to t_{0}}t = t_{0} = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Reunindo as componentes, obtemos
\lim_{t\to t_{0}}F(t) =\Bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr),\;1,\;\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to \pi/4}F(t)=\bigl(\ln(\tfrac{\pi}{4}),\,1,\,\tfrac{\pi}{4}\bigr)

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