Seja z=f\left(x^{2}, 3 x+1\right), onde f(u, v) é de classe C^{1} em \mathbb{R}^{2}.
a) Expresse \frac{d z}{d z} em termos das derivadas parciais de f.
b) Verifique que \frac{d z}{d x}(1)=2 \frac{\partial f}{\partial u}(1,4)+3 \frac{\partial f}{\partial v}(1,4).

Passo 1

O enunciado define
z = f\bigl(x^{2},\,3x+1\bigr),
onde f(u,v) é C^{1} em \mathbb{R}^{2}. Precisamos usar a regra da cadeia para funções compostas e expressar \frac{dz}{dx} em termos das derivadas parciais \partial f/\partial u e \partial f/\partial v. Em seguida, avaliar esse derivada em x=1.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=3x+1.
Então
\frac{du}{dx}=2x, \quad \frac{dv}{dx}=3.

Passo 3

Pela regra da cadeia para z=f(u(x),v(x)), temos
\frac{dz}{dx} = \frac{\partial f}{\partial u}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,\frac{du}{dx} + \frac{\partial f}{\partial v}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo u(x)=x^{2} e v(x)=3x+1, obtemos
\frac{dz}{dx} = 2x\;\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(x^{2},3x+1\bigr) + 3\;\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(x^{2},3x+1\bigr).

Passo 4

Para x=1, temos u(1)=1, v(1)=4, \tfrac{du}{dx}\big|_{x=1}=2 e \tfrac{dv}{dx}\big|_{x=1}=3. Portanto,
\frac{dz}{dx}(1) = 2\,\frac{\partial f}{\partial u}(1,4) + 3\,\frac{\partial f}{\partial v}(1,4).

Resposta

a) \displaystyle \frac{dz}{dx} = 2x\,\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(x^{2},3x+1\bigr) + 3\,\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(x^{2},3x+1\bigr).
b) \displaystyle \frac{dz}{dx}(1) = 2\,\frac{\partial f}{\partial u}(1,4) + 3\,\frac{\partial f}{\partial v}(1,4).

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