Suponha z=f(x, y) \in C^{1}, f(1,2)=-2, f_{x}(1,2)=3 e f_{y}(1,2)=4. Suponha que a trajetória da curva \gamma(t)=\left(t^{2}, 3 t-1, z(t)\right), t \in \mathbb{R}, esteja contida no gráfico de f.
a) Calcule z(t).
b) Determine a equação da reta tangente a \gamma no ponto \gamma(1).

Passo 1

O enunciado diz que a curva \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))=(t^2,\,3t-1,\,z(t)) está contida no gráfico de f. Isso significa que, para todo t,
z(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis e a construção da reta tangente a uma curva paramétrica.

Passo 2

Como x(t)=t^2 e y(t)=3t-1, segue
z(t)=f\bigl(t^2,\,3t-1\bigr).
Isso resolve a alínea (a).

Passo 3

Para obter a reta tangente, precisamos de \gamma'(t). Primeiro,
x'(t)=2t,\qquad y'(t)=3.
Pela regra da cadeia,
z'(t) =f_x\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) + f_y\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).

Passo 4

Em t=1 temos
x(1)=1,\quad y(1)=2,\quad z(1)=f(1,2)=-2,
x'(1)=2,\quad y'(1)=3,
z'(1)=f_x(1,2)\cdot2 + f_y(1,2)\cdot3 = 3\cdot2 + 4\cdot3 = 18.
Logo \gamma(1)=(1,2,-2) e \gamma'(1)=(2,3,18). A reta tangente é o conjunto dos pontos
(1,2,-2) + s\,(2,3,18),\quad s\in\mathbb{R},
isto é, em forma paramétrica,
x=1+2s,\quad y=2+3s,\quad z=-2+18s.

Resposta

a) \displaystyle z(t)=f\bigl(t^2,\,3t-1\bigr).
b) Reta tangente em \gamma(1)\colon
(x,y,z)=(1,2,-2)+s\,(2,3,18),\quad s\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados