Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}
quando (x,y)\to(0,0). Esse é um problema de limite em várias variáveis, e uma técnica eficiente é usar coordenadas polares para ver se o limite é independente da direção.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
de modo que x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo em f obtemos
f(r,\theta) =\frac{r^{2}}{r^{2}+1}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento quando (x,y)\to(0,0), isto é, r\to0. Temos
\lim_{r\to0}\frac{r^{2}}{r^{2}+1} =\frac{0}{0+1} =0.
Como essa expressão não depende de \theta, o limite é bem definido e vale 0.

Resposta

0

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