Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)\to(0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis. Como a expressão depende apenas de x^2+y^2, faz sentido usar coordenadas polares ou reconhecer que a variável relevante é r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Definimos r=\sqrt{x^2+y^2}. Então, quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0 e
\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} =\frac{e^{r^2}-1}{r^2}.

Passo 3

Agora é um limite de variável única. Seja u=r^2. Quando r\to0, vem u\to0 e
\frac{e^{r^2}-1}{r^2} =\frac{e^{u}-1}{u}.
Sabemos do cálculo elementar que
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Logo o nosso limite também vale 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados