Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) para estabelecer que esse quociente tende a zero.

Passo 2

Note que, para todo (x,y), temos
x^4 + y^4 \;\le\; x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \;=\; (x^2 + y^2)^2.
Logo,
0 \;\le\; \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \;\le\; \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} \;=\; x^2+y^2.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2) \;=\; 0.
Pelo Teorema do Confronto, como nosso quociente está “espremido” entre 0 e x^2+y^2, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Resposta

0

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