Se 3 x \leq f(x) \leq x^{2}+2, para 0 \leq x \leq 2, calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) R: 3

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
3x \leq f(x) \leq x^{2}+2\quad\text{para}\quad 0\leq x\leq 2
e pede para calcular
\lim_{x\to 1} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma função f(x) cujo valor está sempre entre duas funções conhecidas, 3x e x^{2}+2, no intervalo [0,2].
  • O ponto onde queremos o limite é x=1, que pertence ao intervalo dado (logo a desigualdade vale em uma vizinhança de x=1).
  • A tarefa é encontrar o valor do limite \lim_{x\to 1} f(x).

Passo 2

Qual a ideia que usamos aqui (explicação didática)?
Quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, a função do meio também tem esse mesmo limite — esse é o raciocínio do teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche ou squeeze theorem). Vou enunciar isso de forma clara:
Se existem funções g(x), f(x), h(x) e um ponto a tais que, em uma vizinhança de a,
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Explicando sem jargões: se a função de baixo e a de cima “fecham” para o mesmo número quando x se aproxima de a, então a que está no meio não tem para onde escapar senão fechar para o mesmo número.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: identifique g(x), f(x) e h(x).
Aqui podemos tomar
g(x)=3x,\qquad h(x)=x^{2}+2,
e a desigualdade fornecida é exatamente g(x)\le f(x)\le h(x) para x em [0,2]. O ponto de interesse é a=1.

Passo 4

Calcular o limite da função inferior g(x)=3x em x\to 1.
A função 3x é linear (portanto contínua), então o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor em 1. Fazendo a substituição:
\lim_{x\to 1} 3x = 3\cdot 1 = 3.
Comentário didático: funções polinomiais e lineares são contínuas em todos os pontos, então basta substituir o valor de x.

Passo 5

Calcular o limite da função superior h(x)=x^{2}+2 em x\to 1.
Novamente, x^{2}+2 é um polinômio (logo contínuo), então
\lim_{x\to 1} (x^{2}+2) = 1^{2}+2 = 3.

Passo 6

Agora aplique o teorema do confronto.
Observamos que para x perto de 1 (de fato para todo x em [0,2]) vale
3x \le f(x) \le x^{2}+2,
e calculamos
\lim_{x\to 1} 3x = 3 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1} (x^{2}+2)=3.
Como as duas funções que enlaçam f(x) têm o mesmo limite 3 em x\to 1, pelo teorema do confronto conclui-se que
\lim_{x\to 1} f(x)=3.

Passo 7

Comentário final e intuição extra (rápido e motivador): pense em f(x) como um ponto preso entre duas paredes que se fecham em 3 quando x chega em 1. O ponto do meio não tem como escapar, então também chega em 3. Confia, é um truque muito útil em provas quando só se conhece bounds para a função.

Resposta

3

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