Se
, para
, calcule
R: 3
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há uma função
cujo valor está sempre entre duas funções conhecidas, e , no intervalo . - O ponto onde queremos o limite é
, que pertence ao intervalo dado (logo a desigualdade vale em uma vizinhança de ). - A tarefa é encontrar o valor do limite
.
Passo 2
Qual a ideia que usamos aqui (explicação didática)?
Quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, a função do meio também tem esse mesmo limite — esse é o raciocínio do teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche ou squeeze theorem). Vou enunciar isso de forma clara:
Quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, a função do meio também tem esse mesmo limite — esse é o raciocínio do teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche ou squeeze theorem). Vou enunciar isso de forma clara:
Se existem funções
,
,
e um ponto
tais que, em uma vizinhança de
,
e se
então
Explicando sem jargões: se a função de baixo e a de cima “fecham” para o mesmo número quando
se aproxima de
, então a que está no meio não tem para onde escapar senão fechar para o mesmo número.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: identifique
,
e
.
Aqui podemos tomar
Aqui podemos tomar
e a desigualdade fornecida é exatamente
para
em
. O ponto de interesse é
.
Passo 4
Calcular o limite da função inferior
em
.
A função é linear (portanto contínua), então o limite quando
é simplesmente o valor em
. Fazendo a substituição:
A função
Comentário didático: funções polinomiais e lineares são contínuas em todos os pontos, então basta substituir o valor de
.
Passo 5
Calcular o limite da função superior
em
.
Novamente, é um polinômio (logo contínuo), então
Novamente,
Passo 6
Agora aplique o teorema do confronto.
Observamos que para perto de
(de fato para todo
em
) vale
Observamos que para
e calculamos
Como as duas funções que enlaçam
têm o mesmo limite
em
, pelo teorema do confronto conclui-se que
Passo 7
Comentário final e intuição extra (rápido e motivador): pense em
como um ponto preso entre duas paredes que se fecham em
quando
chega em
. O ponto do meio não tem como escapar, então também chega em
. Confia, é um truque muito útil em provas quando só se conhece bounds para a função.