Calcule
e determine a assíntota horizontal correspondente.
Solução. Dividimos numerador e denominador por
, a maior potência de
presente:
Quando
,
Assim,
Logo, a assíntota horizontal é
Solução. Dividimos numerador e denominador por
Passo 1
O que o exercício pede:
- Calcular
. - Determinar a assíntota horizontal correspondente.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é uma razão de polinômios
. - O numerador tem grau
e o denominador também tem grau . - Os coeficientes das maiores potências são
(no numerador) e (no denominador).
Passo 2
Ideia do método (por que dividir pela maior potência de
):
- Para avaliar limites quando
de frações de polinômios, é prático dividir numerador e denominador pela maior potência de que aparece (aqui ). Isso transforma cada termo em algo do tipo constante ou uma fração que tende a zero quando . - Resultado intuitivo importante: se os graus dos polinômios são iguais, o limite quando
é a razão dos coeficientes líderes. Vou mostrar isso explicitamente ao dividir por .
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente):
Passo 4
Avaliar o limite termo a termo usando que
e
quando
:
-
. -
e .
Aplicando isso na expressão obtida:
Passo 5
Determinar a assíntota horizontal:
- Definição prática: se
, então a reta é uma assíntota horizontal para (assíntota à direita). Se também , então é assíntota horizontal para ambos os lados. - No nosso caso, como as potências de
são pares e os termos , tendem a zero tanto quando quanto quando , segue que
- Portanto a assíntota horizontal (para ambos os lados) é
.
Passo 6
Regra geral (resumo rápido e útil para prova):
- Se
então e a assíntota horizontal é . - Se
então razão dos coeficientes líderes (aqui ). - Se
então não existe assíntota horizontal (pode haver assíntota oblíqua ou comportamento infinito).
Exemplo rápido:
porque os graus são iguais.
Passo 7
Força aí — você já pegou a ideia: dividir pelo maior
deixa tudo claro e rápido na prova. Agora é só treinar com outras frações racionais!
Resposta
Assíntota horizontal: