Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x+1}
e determine a assíntota horizontal correspondente.
Solução. Dividimos numerador e denominador por x^{2}, a maior potência de x presente:
\frac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x+1}=\frac{3-\frac{5}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}} .
Quando x \rightarrow \infty,
\frac{1}{x} \rightarrow 0 \quad \text { e } \quad \frac{1}{x^{2}} \rightarrow 0
Assim,
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x+1}=\frac{3}{2}
Logo, a assíntota horizontal é
y=\frac{3}{2} .

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-5}{2x^{2}+x+1}.
  • Determinar a assíntota horizontal correspondente.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é uma razão de polinômios \dfrac{3x^{2}-5}{2x^{2}+x+1}.
  • O numerador tem grau 2 e o denominador também tem grau 2.
  • Os coeficientes das maiores potências são 3 (no numerador) e 2 (no denominador).

Passo 2

Ideia do método (por que dividir pela maior potência de x):
  • Para avaliar limites quando x\to\infty de frações de polinômios, é prático dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{2}). Isso transforma cada termo em algo do tipo constante ou uma fração que tende a zero quando x\to\infty.
  • Resultado intuitivo importante: se os graus dos polinômios são iguais, o limite quando x\to\infty é a razão dos coeficientes líderes. Vou mostrar isso explicitamente ao dividir por x^{2}.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente):
\frac{3x^{2}-5}{2x^{2}+x+1} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3-\dfrac{5}{x^{2}}}{2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Avaliar o limite termo a termo usando que \dfrac{1}{x}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{5}{x^{2}}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Aplicando isso na expressão obtida:
\lim_{x\to\infty}\frac{3-\dfrac{5}{x^{2}}}{2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3-0}{2+0+0} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Determinar a assíntota horizontal:
  • Definição prática: se \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L, então a reta y=L é uma assíntota horizontal para x\to\infty (assíntota à direita). Se também \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, então y=L é assíntota horizontal para ambos os lados.
  • No nosso caso, como as potências de x são pares e os termos \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}} tendem a zero tanto quando x\to\infty quanto quando x\to-\infty, segue que
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^{2}-5}{2x^{2}+x+1}=\frac{3}{2}\quad\text{também.}é
  • Portanto a assíntota horizontal (para ambos os lados) é y=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Regra geral (resumo rápido e útil para prova):
  • Se \deg(\text{num})<\deg(\text{den}) então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 e a assíntota horizontal é y=0.
  • Se \deg(\text{num})=\deg(\text{den}) então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)= razão dos coeficientes líderes (aqui \dfrac{3}{2}).
  • Se \deg(\text{num})>\deg(\text{den}) então não existe assíntota horizontal (pode haver assíntota oblíqua ou comportamento infinito).
Exemplo rápido: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}+1}{2x^{3}-x}= \frac{5}{2} porque os graus são iguais.

Passo 7

Força aí — você já pegou a ideia: dividir pelo maior x^{n} deixa tudo claro e rápido na prova. Agora é só treinar com outras frações racionais!

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-5}{2x^{2}+x+1}=\frac{3}{2}
Assíntota horizontal: \displaystyle y=\frac{3}{2}

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