A temperatura de uma placa ao longo de uma linha é modelada por
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto onde a temperatura é zero.
Solução. A função
é polinomial, portanto contínua em
. Calculamos:
Como
o valor 0 está entre
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Logo, há pelo menos um ponto da placa, no intervalo considerado, em que a temperatura é zero.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dada a função temperatura ao longo da linha da placa
definida no intervalo . - Pede-se usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto do intervalo onde a temperatura vale zero, isto é, provar que existe
tal que .
Passo 2
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (explicado na prática):
- Se
é contínua em e é um número entre e (isto é, ou ), então existe tal que . - Aqui
será , , e . Para aplicar o teorema precisamos: - Mostrar que
é contínua em . - Verificar que
está entre e .
- Mostrar que
Passo 3
Por que
é contínua:
- Polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Isso quer dizer que para qualquer ponto
temos . - Como
é um polinômio, ela é contínua em particular em . Portanto a condição de continuidade do Teorema do Valor Intermediário está satisfeita.
Passo 4
Calcular os valores nos extremos do intervalo:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
Passo 5
Verificar que
está entre
e
e aplicar o teorema:
- Observamos que
e . Ou seja, está entre os valores e . - Pelas hipóteses do Teorema do Valor Intermediário (função contínua em
e entre e ), conclui-se que existe tal que .
Passo 6
(Complemento — encontrar explicitamente o ponto onde
é zero)
- Embora o enunciado peça apenas existência, podemos resolver a equação quadrática para ver onde fica o ponto:
- Aplicando a fórmula quadrática (para
, tem-se ):
- Dos dois valores,
e está entre e . Numericamente . Assim um ponto concreto com temperatura zero é .
Resposta
Existe
tal que
. Um valor concreto é
.