A temperatura de uma placa ao longo de uma linha é modelada por
T(x)=x^{2}-4 x+1, \quad 0 \leq x \leq 1
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto onde a temperatura é zero.
Solução. A função T é polinomial, portanto contínua em [0,1]. Calculamos:
\begin{gathered} T(0)=0^{2}-4 \cdot 0+1=1 \\\ T(1)=1^{2}-4 \cdot 1+1=-2 \end{gathered}
Como
T(0)=1>0 \quad \text { e } \quad T(1)=-2<0
o valor 0 está entre T(0) e T(1). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c \in(0,1) tal que
T\text{(c)}=0
Logo, há pelo menos um ponto da placa, no intervalo considerado, em que a temperatura é zero.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dada a função temperatura ao longo da linha da placa T(x)=x^{2}-4x+1 definida no intervalo [0,1].
  • Pede-se usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto do intervalo onde a temperatura vale zero, isto é, provar que existe c\in(0,1) tal que T\text{(c)}=0.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (explicado na prática):
  • Se f é contínua em [a,b] e L é um número entre f(a) e f(b) (isto é, f(a)\le L\le f(b) ou f(b)\le L\le f(a)), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=L.
  • Aqui f será T, a=0, b=1 e L=0. Para aplicar o teorema precisamos:
    1. Mostrar que T é contínua em [0,1].
    2. Verificar que 0 está entre T(0) e T(1).

Passo 3

Por que T é contínua:
  • Polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Isso quer dizer que para qualquer ponto x_0 temos \lim_{x\to x_0}T(x)=T(x_0).
  • Como T é um polinômio, ela é contínua em particular em [0,1]. Portanto a condição de continuidade do Teorema do Valor Intermediário está satisfeita.

Passo 4

Calcular os valores nos extremos do intervalo:
  • Avaliando em x=0:
T(0)=0^{2}-4\cdot 0+1=1.
  • Avaliando em x=1:
T(1)=1^{2}-4\cdot 1+1=-2.

Passo 5

Verificar que 0 está entre T(0) e T(1) e aplicar o teorema:
  • Observamos que T(0)=1>0 e T(1)=-2<0. Ou seja, 0 está entre os valores T(0) e T(1).
  • Pelas hipóteses do Teorema do Valor Intermediário (função contínua em [0,1] e 0 entre T(0) e T(1)), conclui-se que existe c\in(0,1) tal que T\text{(c)}=0.

Passo 6

(Complemento — encontrar explicitamente o ponto onde T é zero)
  • Embora o enunciado peça apenas existência, podemos resolver a equação quadrática para ver onde fica o ponto:
x^{2}-4x+1=0.
  • Aplicando a fórmula quadrática (para ax^{2}+bx+c=0, tem-se \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}):
x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
  • Dos dois valores, 2+\sqrt{3}>1 e 2-\sqrt{3} está entre 0 e 1. Numericamente 2-\sqrt{3}\approx0,268. Assim um ponto concreto com temperatura zero é c=2-\sqrt{3}\in(0,1).

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que T\text{(c)}=0. Um valor concreto é c=2-\sqrt{3}\approx0,268.

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