6.4. Calcule

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}-x\right)
Solução. Racionalizamos:
\sqrt{x^{2}+3 x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+3 x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+3 x}+x}
No numerador:
\left(x^{2}+3 x\right)-x^{2}=3 x .
Logo,
\sqrt{x^{2}+3 x}-x=\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+3 x}+x}
Como x \rightarrow \infty, temos x>0 para x suficientemente grande, então
\sqrt{x^{2}+3 x}=x \sqrt{1+\frac{3}{x}}
Assim,
\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+3 x}+x}=\frac{3 x}{x \sqrt{1+\frac{3}{x}}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} .
Tomando o limite:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}
Portanto,
\begin{array}{|l|} \hline \frac{3}{2} . \\\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+3x} e um termo linear x.
  • O limite é tomado quando x \to \infty (ou seja, x cresce sem limite).
  • Para x grande e positivo, tanto \sqrt{x^{2}+3x} quanto x tendem para +\infty, então a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty.

Passo 2

Entendendo a dificuldade e escolhendo a técnica: a forma indeterminada \infty-\infty ocorre porque dois termos grandes se subtraem e podem cancelar parte um do outro. Um truque clássico para eliminar essa indeterminação é multiplicar por uma expressão que faça aparecer uma diferença de quadrados — isto é, multiplicar por o “conjugado” do termo com raiz.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x^{2}+3x}+x. Escrevendo:
\sqrt{x^{2}+3x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.
No numerador aparece uma diferença de quadrados:
\left(\sqrt{x^{2}+3x}\right)^{2}-x^{2}= (x^{2}+3x)-x^{2}=3x.
Portanto obtemos a forma simplificada
\sqrt{x^{2}+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.

Passo 3

Simplificação e fatoração para estudar o comportamento quando x\to\infty.
Para x suficientemente grande temos x>0, então podemos fatorar x dentro da raiz assim:
\sqrt{x^{2}+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}.
Substituindo na expressão obtida:
\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x} = \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x}.
Agora fatoramos x do denominador:
\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} = \frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}.

Passo 4

Aplicando o limite: analisar o comportamento da expressão obtida quando x\to\infty.
Quando x\to\infty temos \dfrac{3}{x}\to 0. A função \sqrt{\,\cdot\,} é contínua no ponto 1, então
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x}}=\sqrt{1+0}=1.
Como o denominador \sqrt{1+\frac{3}{x}}+1 tende a 1+1=2 (não é zero), podemos passar ao limite diretamente na fração:
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Verificação intuitiva (checagem rápida): para um x grande, por exemplo x=1000,
\sqrt{1000^{2}+3\cdot1000}-1000 \approx \sqrt{1\,000\,000+3000}-1000 \approx 1001{,}4999-1000\approx 1{,}4999\approx\frac{3}{2},
o que confirma numericamente o resultado encontrado. Isso não substitui a demonstração, mas ajuda a ganhar confiança.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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