6.4. Calcule
Solução. Racionalizamos:
No numerador:
Logo,
Como
, temos
para
suficientemente grande, então
Assim,
Tomando o limite:
Portanto,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
e um termo linear . - O limite é tomado quando
(ou seja, cresce sem limite). - Para
grande e positivo, tanto quanto tendem para , então a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Entendendo a dificuldade e escolhendo a técnica: a forma indeterminada
ocorre porque dois termos grandes se subtraem e podem cancelar parte um do outro. Um truque clássico para eliminar essa indeterminação é multiplicar por uma expressão que faça aparecer uma diferença de quadrados — isto é, multiplicar por o “conjugado” do termo com raiz.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
. Escrevendo:
No numerador aparece uma diferença de quadrados:
Portanto obtemos a forma simplificada
Passo 3
Simplificação e fatoração para estudar o comportamento quando
.
Para
suficientemente grande temos
, então podemos fatorar
dentro da raiz assim:
Substituindo na expressão obtida:
Agora fatoramos
do denominador:
Passo 4
Aplicando o limite: analisar o comportamento da expressão obtida quando
.
Quando
temos
. A função
é contínua no ponto
, então
Como o denominador
tende a
(não é zero), podemos passar ao limite diretamente na fração:
Passo 5
Verificação intuitiva (checagem rápida): para um
grande, por exemplo
,
o que confirma numericamente o resultado encontrado. Isso não substitui a demonstração, mas ajuda a ganhar confiança.