6.5. Calcule os limites

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}
Solução. Para x \rightarrow \infty, temos x>0, então
\sqrt{x^{2}+1}=x \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}
Logo,
\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{2 x}{x \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}
Portanto,
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=2
Para x \rightarrow-\infty, temos |x|=-x e
\sqrt{x^{2}+1}=|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=-x \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}
Assim,
\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{2 x}{-x \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}
Logo,
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=-2
Portanto,
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=2, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}=-2 .
As assíntotas horizontais são y=2 à direita e y=-2 à esquerda.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular os dois limites
\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão que se limita é \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
  • A raiz quadrada \sqrt{x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para tratar \sqrt{x^{2}} precisamos lembrar que \sqrt{x^{2}}=|x|, portanto ao manipular \sqrt{x^{2}+1} é necessário cuidar do sinal de x (se x>0 ou x<0).

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (sem resolver ainda): fatorar uma potência de x dentro da raiz para deixar um termo que tende a 1 quando |x|\to\infty. Em particular, usar que para x\neq0
\sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Depois simplifica-se a fração e usa-se que \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando |x|\to\infty, portanto \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to1 por continuidade da raiz quadrada.

Passo 3

Cálculo do limite quando x\to\infty. Aqui x>0 para x suficientemente grande, logo |x|=x. Então:
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo na expressão:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{2x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora observe que
\frac{1}{x^{2}}\xrightarrow[x\to\infty]{}0,
e a função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua em t=0, portanto
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\xrightarrow[x\to\infty]{}1.
Pelo acima, a expressão \dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} tende a \dfrac{2}{1}=2 quando x\to\infty.

Passo 4

Cálculo do limite quando x\to-\infty. Agora x<0 para x suficientemente negativo, então |x|=-x. Assim:
\sqrt{x^{2}+1}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo na expressão original:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.
Novamente \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to-\infty, logo \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to1. Portanto a expressão -\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} tende a -\dfrac{2}{1}=-2 quando x\to-\infty.

Passo 5

Interpretação final e observação sobre assíntotas horizontais: as duas conclusões acima dizem que a função \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}} aproxima-se de 2 quando x vai para +\infty e aproxima-se de -2 quando x vai para -\infty. Isso significa que a curva tem assíntota horizontal y=2 à direita e y=-2 à esquerda.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=2
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=-2

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