A expressão que se limita é \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
A raiz quadrada \sqrt{x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Para tratar \sqrt{x^{2}} precisamos lembrar que \sqrt{x^{2}}=|x|, portanto ao manipular \sqrt{x^{2}+1} é necessário cuidar do sinal de x (se x>0 ou x<0).
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (sem resolver ainda): fatorar uma potência de x dentro da raiz para deixar um termo que tende a 1 quando |x|\to\infty. Em particular, usar que para x\neq0
\sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Depois simplifica-se a fração e usa-se que \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando |x|\to\infty, portanto \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to1 por continuidade da raiz quadrada.
Passo 3
Cálculo do limite quando x\to\infty. Aqui x>0 para x suficientemente grande, logo |x|=x. Então:
Novamente \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to-\infty, logo \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to1. Portanto a expressão -\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} tende a -\dfrac{2}{1}=-2 quando x\to-\infty.
Passo 5
Interpretação final e observação sobre assíntotas horizontais: as duas conclusões acima dizem que a função \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}} aproxima-se de 2 quando x vai para +\infty e aproxima-se de -2 quando x vai para -\infty. Isso significa que a curva tem assíntota horizontal y=2 à direita e y=-2 à esquerda.