Usando a definição de derivada, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
e encontre a equação da reta tangente.
Solução. Pela definição,
Para
e
,
Expandindo:
Logo,
O ponto de tangência é
A reta tangente tem inclinação 6:
Portanto,
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- A função
é . - O ponto de abscissa onde queremos a tangente é
.
O que o problema pede:
- Determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa . (Isto é, calcular .) - Encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações úteis que vamos usar (sem começar a resolver ainda):
- A definição de derivada no ponto
:
- A reta tangente no ponto
com inclinação pode ser escrita na forma ponto-inclinação:
Passo 2
Vamos aplicar a definição de derivada ao caso concreto. Substituímos
e
na fórmula da derivada:
Aqui cada termo significa:
-
é o valor da função no ponto . -
é o valor da função no ponto . - O quociente
é a taxa média de variação de entre e . - O limite quando
transforma essa taxa média em taxa instantânea (a inclinação da reta tangente).
Passo 3
Calcular os valores de
que aparecem:
Agora substituímos na expressão do limite:
Passo 4
Expandimos o binômio
. Recorde rápido:
. Aplicando com
e
:
Substituindo na fração do limite:
Passo 5
Simplificamos o numerador cancelando os
:
Agora fatoramos
no numerador (fator comum):
Como a expressão original do quociente só faz sentido para
, podemos simplificar o fator
cancelando-o:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Depois do cancelamento, a expressão ficou simples e contínua, então basta substituir
:
Comentário didático: essa operação é válida porque removemos o problema da divisão por zero; o limite observa o comportamento quando
se aproxima de zero, não quando é exatamente zero.
Passo 7
Interpretando o resultado: a inclinação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
é
. Ou seja, a reta tangente sobe
unidades em
quando
aumenta uma unidade perto de
.
Passo 8
Agora encontramos o ponto de tangência completo: a abscissa é
e a ordenada é
. Portanto o ponto é
.
Usamos a forma ponto-inclinação da reta com
e ponto
:
Passo 9
Colocando a equação na forma reduzida (slope-intercept)
fazemos a álgebra: