Usando a definição de derivada, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{2} no ponto de abscissa a=3 e encontre a equação da reta tangente.
Solução. Pela definição,
f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} .
Para f(x)=x^{2} e a=3,
f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^{2}-3^{2}}{h}
Expandindo:
(3+h)^{2}=9+6 h+h^{2} .
Logo,
f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{9+6 h+h^{2}-9}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{6 h+h^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}(6+h)=6
O ponto de tangência é
(3, f(3))=(3,9)
A reta tangente tem inclinação 6:
y-9=6(x-3)
Portanto,
y=6 x-9 .

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • A função f é f(x)=x^{2}.
  • O ponto de abscissa onde queremos a tangente é a=3.
O que o problema pede:
  • Determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa a=3. (Isto é, calcular f'(3).)
  • Encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações úteis que vamos usar (sem começar a resolver ainda):
  • A definição de derivada no ponto a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • A reta tangente no ponto (a,f(a)) com inclinação m=f'(a) pode ser escrita na forma ponto-inclinação:
y-f(a)=m(x-a).

Passo 2

Vamos aplicar a definição de derivada ao caso concreto. Substituímos f(x)=x^{2} e a=3 na fórmula da derivada:
f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}.
Aqui cada termo significa:
  • f(3+h) é o valor da função no ponto 3+h.
  • f(3) é o valor da função no ponto 3.
  • O quociente \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} é a taxa média de variação de f entre 3 e 3+h.
  • O limite quando h\to 0 transforma essa taxa média em taxa instantânea (a inclinação da reta tangente).

Passo 3

Calcular os valores de f que aparecem:
f(3)=3^{2}=9, \qquad f(3+h)=(3+h)^{2}.
Agora substituímos na expressão do limite:
f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^{2}-9}{h}.

Passo 4

Expandimos o binômio (3+h)^{2}. Recorde rápido: (u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}. Aplicando com u=3 e v=h:
(3+h)^{2}=9+6h+h^{2}.
Substituindo na fração do limite:
f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^{2}-9}{h}.

Passo 5

Simplificamos o numerador cancelando os 9:
\frac{9+6h+h^{2}-9}{h}=\frac{6h+h^{2}}{h}.
Agora fatoramos h no numerador (fator comum):
\frac{6h+h^{2}}{h}=\frac{h(6+h)}{h}.
Como a expressão original do quociente só faz sentido para h\neq 0, podemos simplificar o fator h cancelando-o:
\frac{h(6+h)}{h}=6+h\quad\text{para }h\neq 0.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Depois do cancelamento, a expressão ficou simples e contínua, então basta substituir h=0:
f'(3)=\lim_{h\to 0}(6+h)=6+0=6.
Comentário didático: essa operação é válida porque removemos o problema da divisão por zero; o limite observa o comportamento quando h se aproxima de zero, não quando é exatamente zero.

Passo 7

Interpretando o resultado: a inclinação da reta tangente à curva y=f(x)=x^{2} no ponto de abscissa a=3 é f'(3)=6. Ou seja, a reta tangente sobe 6 unidades em y quando x aumenta uma unidade perto de x=3.

Passo 8

Agora encontramos o ponto de tangência completo: a abscissa é a=3 e a ordenada é f(3)=9. Portanto o ponto é (3,9).
Usamos a forma ponto-inclinação da reta com m=6 e ponto (3,9):
y-9=6(x-3).

Passo 9

Colocando a equação na forma reduzida (slope-intercept) y=mx+b fazemos a álgebra:
y-9=6x-18 \quad\Rightarrow\quad y=6x-18+9,
y=6x-9.

Resposta

f'(3)=6
y=6x-9

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