Calcule \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-1\right) \cdot g(x)\), onde \(g(x)= \begin{cases}-2, & \text { se } x>1 \\\\ -1, & \text { se } x \leq 1\end{cases}
Passo 1
O que o problema pede: calcular \lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot g(x)\), onde \(g\) é dada por
\[g(x)=\begin{cases}-2, & \text{se } x>1,\\[4pt] -1, & \text{se } x\le 1.\end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
A função g\] é uma função por partes (constante em cada ramo) com salto em \(x=1 (valores -2 à direita e -1 à esquerda).
A expressão a estudar é o produto de \bigl(x^{2}-1\bigr) por g(x).
Precisamos decidir se o limite à medida que x se aproxima de 1 existe e, se existir, qual é seu valor.]
Passo 2
Observação útil e factorização: fatoramos a diferença de quadrados para entender o comportamento de \bigl(x^{2}-1\bigr) perto de x=1. Temos a identidade
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Isso mostra que \bigl(x^{2}-1\bigr) tem um fator (x-1) que tende a 0 quando x\to 1, enquanto (x+1) tende a 2. Outra ferramenta que usamos: se uma função h(x) tem limite finito quando x\to a e c é constante, então \lim_{x\to a} c\cdot h(x)=c\cdot\lim_{x\to a} h(x). Como g(x) é constante em cada lado de 1, podemos tirar esse constante fora do limite lateral.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda (x\to 1^{-}). Para x<1 (aproximação pela esquerda) o enunciado dá g(x)=-1. Assim
Como \lim_{x\to 1}\bigl|x^{2}-1\bigr|=0, pela desigualdade acima e pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue que \lim_{x\to 1}(x^{2}-1)g(x)=0. Isso mostra também por que o salto em g não impede o produto de ir a zero: o fator que tende a 0 anula o efeito do salto porque g não é infinito.