Calcule \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-1\right) \cdot g(x)\), onde \(g(x)= \begin{cases}-2, & \text { se } x>1 \\\\ -1, & \text { se } x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot g(x)\), onde \(g\) é dada por \[g(x)=\begin{cases}-2, & \text{se } x>1,\\[4pt] -1, & \text{se } x\le 1.\end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
  • A função g\] é uma função por partes (constante em cada ramo) com salto em \(x=1 (valores -2 à direita e -1 à esquerda).
  • A expressão a estudar é o produto de \bigl(x^{2}-1\bigr) por g(x).
  • Precisamos decidir se o limite à medida que x se aproxima de 1 existe e, se existir, qual é seu valor.]

Passo 2

Observação útil e factorização: fatoramos a diferença de quadrados para entender o comportamento de \bigl(x^{2}-1\bigr) perto de x=1. Temos a identidade
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Isso mostra que \bigl(x^{2}-1\bigr) tem um fator (x-1) que tende a 0 quando x\to 1, enquanto (x+1) tende a 2. Outra ferramenta que usamos: se uma função h(x) tem limite finito quando x\to a e c é constante, então \lim_{x\to a} c\cdot h(x)=c\cdot\lim_{x\to a} h(x). Como g(x) é constante em cada lado de 1, podemos tirar esse constante fora do limite lateral.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to 1^{-}). Para x<1 (aproximação pela esquerda) o enunciado dá g(x)=-1. Assim
\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot(-1) = -1\cdot\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr).
Calculamos \lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr). Como a função x\mapsto x^{2}-1 é contínua, seu limite em 1 é simplesmente o valor substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr)=1^{2}-1=0.
Portanto
\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x) = -1\cdot 0 = 0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita ( x\to 1^{+}). Para x>1 (aproximação pela direita) o enunciado dá g(x)=-2. Analogamente,
\lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot(-2) = -2\cdot\lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr).
Como x^{2}-1 é contínua, \lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr)=0. Logo
\lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x) = -2\cdot 0 = 0.

Passo 5

Conclusão dos limites laterais e justificativa alternativa (teorema da compressão / função limitada). Vimos que
\lim_{x\to 1^{-}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^{+}}\bigl(x^{2}-1\bigr)g(x)=0.
Como os dois limites laterais coincidem, o limite pedido existe e vale 0.
Alternativa robusta (útil na prova): note que g(x) é limitada perto de 1; explicitamente |g(x)|\le 2 para todo x. Então
\bigl|(x^{2}-1)g(x)\bigr|\le 2\bigl|x^{2}-1\bigr|.
Como \lim_{x\to 1}\bigl|x^{2}-1\bigr|=0, pela desigualdade acima e pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue que \lim_{x\to 1}(x^{2}-1)g(x)=0. Isso mostra também por que o salto em g não impede o produto de ir a zero: o fator que tende a 0 anula o efeito do salto porque g não é infinito.

Resposta

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