Questão 3. Resolva o Sistema Abaixo:
\begin{aligned} & \frac{d x}{d t}=12 x-9 y \\\ & \frac{d y}{d t}=4 x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares homogêneo com coeficientes constantes
\frac{d x}{d t}=12x-9y, \qquad \frac{d y}{d t}=4x.
O conteúdo envolve escrever o sistema em forma matricial, encontrar autovalores e autovetores de A, e montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \frac{d}{dt}X = A\,X, onde
X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}12 & -9\\[6pt]4 & 0\end{pmatrix}.
A equação característica vem de \det(A-\lambda I)=0.]

Passo 3

Calculamos
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}12-\lambda & -9\\[3pt]4 & -\lambda\end{pmatrix} =(12-\lambda)(-\lambda)-(-9)\cdot4 =\lambda^2-12\lambda+36.
Resolvendo \lambda^2-12\lambda+36=0 obtemos o discriminante 144-144=0 e raiz dupla
\lambda=6\quad(\text{multiplicidade }2).]

Passo 4

Para encontrar autovetores, resolvemos (A-6I)v=0:
\begin{pmatrix}6 & -9\\[3pt]4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; 6v_1-9v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1=\tfrac32\,v_2.
Escolhendo v_2=2 dá o autovetor
v = \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade algébrica é 2 e geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado.]

Passo 5

Buscamos w tal que (A-6I)w=v:
\begin{pmatrix}6 & -9\\[3pt]4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
Da segunda linha 4w_1-6w_2=2 segue 2w_1-3w_2=1. Tomando w_2=0 resulta w_1=\tfrac12. Assim
w = \begin{pmatrix}\tfrac12\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

As duas soluções fundamentais do sistema são
X_1(t)=e^{6t}\,v, \qquad X_2(t)=e^{6t}\bigl(t\,v + w\bigr).
Logo a solução geral é combinação linear destas.

Resposta

A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} =C_1\,e^{6t}\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} + C_2\,e^{6t}\!\Bigl(t\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\tfrac12\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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