Calcule:
(a)
lim x 0^+ sen^2 xx^4-x^3
(b)
lim x 5^- e^-x(x-5)^3
©
lim x 3^+ ln (x^2-9)
(d)
lim x 0^+ arctan (ln x)
(e)
lim x 3^+ x^2-9x^2-6 x+9
(f)
lim x 0^- 1x
(g)
lim x 0 1|x|
(h)
lim x 1 2-x(x-1)^2
(i)
lim x 2 x^2-x+6x-2

Passo 1

Estamos lidando com limites de funções em pontos onde há indeterminações ou comportamentos infinitos. O assunto é cálculo de limites, aplicando expansão em série para pequenas variações, análise de sinal, fatoração e, quando for o caso, L’Hôpital.

Passo 2

Para (a)
Observamos que, quando x→0+, sen x≈x então sen²x≈x². No denominador x⁴−x³=x³(x−1)≈−x³. Logo
sen²xx⁴−x³≈x²−x³=−1x ²³²³
e, como x→0+ , −1/x→−∞.

Passo 3

Para (b)
Temos e{−x}→e{−5}>0 e (x−5)³→0− já que x→5− torna (x−5)<0 e cubo preserva o sinal. Logo o quociente →+0/(−0)=−∞.

Passo 4

Para ©
Quando x→3+ , x²−9→0+ e ln(x²−9)→ln(0+)=−∞ diretamente.

Passo 5

Para (d)
Se x→0+ , ln x→−∞ e arctan(ln x)→arctan(−∞)=−π/2.

Passo 6

Para (e)
Fatoramos:
x²−9x²−6x+9=(x−3)(x+3)(x−3)²=x+3x−3 ²²²
Quando x→3+ , x+3→6 e x−3→0+ , então 6/0+→+∞.

Passo 7

Para (f)
1/x quando x→0− dá −∞ pois dividimos 1 por um número negativo muito pequeno.

Passo 8

Para (g)
|x|→0+ tanto pela direita quanto pela esquerda. Logo 1/|x|→+∞.

Passo 9

Para (h)
No numerador 2−x→1>0 quando x→1; no denominador (x−1)²→0+ sempre não importa o lado. Então o quociente →+∞.

Passo 10

Para (i)
Em x=2 temos numerador 2²−2+6=8≠0 e denominador x−2→0. Pela esquerda dá 8/(−0)=−∞ e pela direita 8/(+0)=+∞. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe.

Resposta

(a) −∞; (b) −∞; © −∞; (d) −π/2; (e) +∞; (f) −∞; (g) +∞; (h) +∞; (i) não existe

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