Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Estamos lidando com limites de funções em pontos onde há indeterminações ou comportamentos infinitos. O assunto é cálculo de limites, aplicando expansão em série para pequenas variações, análise de sinal, fatoração e, quando for o caso, L’Hôpital.
Passo 2
Para (a)
Observamos que, quando x→0+, sen x≈x então sen²x≈x². No denominador x⁴−x³=x³(x−1)≈−x³. Logo
Observamos que, quando x→0+, sen x≈x então sen²x≈x². No denominador x⁴−x³=x³(x−1)≈−x³. Logo
e, como x→0+ , −1/x→−∞.
Passo 3
Para (b)
Temos e{−x}→e{−5}>0 e (x−5)³→0− já que x→5− torna (x−5)<0 e cubo preserva o sinal. Logo o quociente →+0/(−0)=−∞.
Temos e{−x}→e{−5}>0 e (x−5)³→0− já que x→5− torna (x−5)<0 e cubo preserva o sinal. Logo o quociente →+0/(−0)=−∞.
Passo 4
Para ©
Quando x→3+ , x²−9→0+ e ln(x²−9)→ln(0+)=−∞ diretamente.
Quando x→3+ , x²−9→0+ e ln(x²−9)→ln(0+)=−∞ diretamente.
Passo 5
Para (d)
Se x→0+ , ln x→−∞ e arctan(ln x)→arctan(−∞)=−π/2.
Se x→0+ , ln x→−∞ e arctan(ln x)→arctan(−∞)=−π/2.
Passo 6
Para (e)
Fatoramos:
Fatoramos:
Quando x→3+ , x+3→6 e x−3→0+ , então 6/0+→+∞.
Passo 7
Para (f)
1/x quando x→0− dá −∞ pois dividimos 1 por um número negativo muito pequeno.
1/x quando x→0− dá −∞ pois dividimos 1 por um número negativo muito pequeno.
Passo 8
Para (g)
|x|→0+ tanto pela direita quanto pela esquerda. Logo 1/|x|→+∞.
|x|→0+ tanto pela direita quanto pela esquerda. Logo 1/|x|→+∞.
Passo 9
Para (h)
No numerador 2−x→1>0 quando x→1; no denominador (x−1)²→0+ sempre não importa o lado. Então o quociente →+∞.
No numerador 2−x→1>0 quando x→1; no denominador (x−1)²→0+ sempre não importa o lado. Então o quociente →+∞.
Passo 10
Para (i)
Em x=2 temos numerador 2²−2+6=8≠0 e denominador x−2→0. Pela esquerda dá 8/(−0)=−∞ e pela direita 8/(+0)=+∞. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe.
Em x=2 temos numerador 2²−2+6=8≠0 e denominador x−2→0. Pela esquerda dá 8/(−0)=−∞ e pela direita 8/(+0)=+∞. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe.
Resposta
(a) −∞; (b) −∞; © −∞; (d) −π/2; (e) +∞; (f) −∞; (g) +∞; (h) +∞; (i) não existe