Calcule:
(a) lim x 1 sen(x^3-1)x-1;
(b) lim t 0^+ cos t^2-1t.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular dois limites envolvendo funções trigonométricas. No item (a) vamos usar a fórmula
limuto0sin uu=1
e a fatoração de diferença de cubos. No item (b) vamos usar a expansão de Taylor de cos em zero (ou equivalências de ordens).

Passo 2

Para o limite
limxto1sin(x^3-1)x-1,
observe que
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Fazendo u=x^3-1, reescrevemos
sin(x^3-1)x-1 =sin ux-1 =sin uu,ux-1
Quando xto1 temos uto0, então sin uuto1 e
ux-1=x^2+x+1;longrightarrow;1^2+1+1=3
Logo o limite vale 1cdot3=3.

Passo 3

Para o limite
limtto0^+cos t^2-1t,
usamos a equivalência
costheta-1sim -tfractheta^22 quando thetato0. Com theta=t^2 isso dá
cos t^2-1sim -t^42,
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cos t^2-1tsim -t^42t=-t^32;longrightarrow;0
quando tto0^+.

Resposta

(a) 3
(b) 0

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