Questão 4. (2 pontos) Considere o problema do valor inicial descrito pela equação
2 y^prime prime-3 y^prime-2 y=0
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para y(0)=a, e y^prime(0)=b.
c) Qual a condição que a, b devem satisfazer para que a solução do PVI satisfaça lim x +infty y(x)= 0 .

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
2y''-3y'-2y=0
e pede:
a) a solução geral;
b) a solução do PVI com y(0)=a e y'(0)=b;
c) a condição em a,b para limxto+inftyy(x)=0.
Vamos usar o método da equação característica, exponenciais e análise de estabilidade.

Passo 2

Formamos a equação característica
2r^2-3r-2=0
cuja solução é
r=3pmraiz9+164=3pm54,
ou seja r1=2 e r2=-tfrac12.
Logo a solução geral é
y(x)=C1e^2x+C2e^-x/2

Passo 3

Para impor y(0)=a e y'(0)=b, note que
y(0)=C1+C2=a
e, como
y'(x)=2C1e^2x-tfrac12C2e^-x/2,
temos
y'(0)=2C1-tfrac12C2=b
Resolvendo
C1 + C2 = a 2C1 - tfrac12C2 = b
encontramos
C1=2b+a5, C2=4a-2b5
Portanto
y(x)=2b+a5e^2x+4a-2b5e^-x/2

Passo 4

Para ter limxto+inftyy(x)=0, é preciso eliminar o termo crescent,e e^2x, ou seja C1=0. Assim
2b + a = 0 Long<=ftrightarrow b=-a2

Resposta

(a) y(x)=C1e^2x+C2e^-x/2
(b) y(x)=2b+a5e^2x+4a-2b5e^-x/2
(c) 2b+a=0 (ou b=-tfraca2).

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