Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=theta.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função definida em (-pi,pi) por
f(theta)=theta
O conteúdo é série de Fourier em intervalo simétrico, e para resolvê-la vamos calcular os coeficientes
a0, an, bn
usando as fórmulas
a0=1piintegral-pi^pif(theta),dtheta, an=1piintegral-pi^pif(theta)cos(ntheta),dtheta, bn=1piintegral-pi^pif(theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 2

Calcular a0. Como
a0=1piintegral-pi^pitheta,dtheta
e o integrando é uma função ímpar em [-pi,pi], a integral vale zero. Logo
a0=0

Passo 3

Calcular an. Temos
an=1piintegral-pi^pithetacos(ntheta),dtheta
Aqui theta é ímpar e cos(ntheta) é par, então o produto é ímpar e a integral em [-pi,pi] é zero. Assim
an=0para todo n>=1

Passo 4

Calcular bn. Escrevemos
bn=1piintegral-pi^pithetasin(ntheta),dtheta
O integrando thetasin(ntheta) é par (ímpar timesímpar), então
bn=2piintegral0^pithetasin(ntheta),dtheta
Fazemos integração por partes em integral0^pithetasin(ntheta),dtheta, com
u=theta, dv=sin(ntheta)dtheta, obtendo
integral0^pithetasin(ntheta),dtheta =l[-thetacos(ntheta)nr]0^pi +integral0^picos(ntheta)n,dtheta =-pi(-1)^nn
pois cos(npi)=(-1)^n e integral0^picos(ntheta),dtheta=0. Portanto
bn=2pil(-pi(-1)^nnr) =2,(-1)^n+1n

Passo 5

Montamos a série de Fourier, lembrando que a0=0 e an=0:
f(theta)simsumn=1^inftyl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r) =sumn=1^inftybnsin(ntheta) =2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(ntheta)

Resposta

f(theta)=theta =;2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sinl(nthetar)

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