Determine, se existirem:
lim x a e^|x-a|-2|a-x|(x-a)^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto a e^|x-a|-2|a-x|(x-a)^2
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo valor absoluto e exponencial. Vamos precisar simplificar o expoente usando propriedades de valor absoluto.

Passo 2

Note que |x-a|=|a-x|. Defina h = x - a. Então
|x-a| - 2|a-x| = |h| - 2|h| = -,|h|
e o denominador fica (x-a)^2 = h^2.

Passo 3

O expoente torna-se
-,|h|h^2 = -|h|h^2 = -1|h|
Quando xto a, temos hto0 e portanto |h|to0, logo tfrac1|h|to+infty. Assim o expoente tende a -infty.

Passo 4

Como a função exponencial é contínua,
limxto a e^-1|h| = e^-infty = 0

Resposta

0

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