Calcule lim x 5 f(x)-f(5)x-5 sendo f(x)=1x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 5 f(x)-f(5)x-5 com f(x)=1/x, ou seja, a derivada de f em x=5. Vamos usar a definição de derivada (quociente incremental) e manipular algebricamente expressões racionais para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, avalio f(5):
f(5)=15
Então o numerador da diferença incremental fica:
f(x)-f(5)=1x-15=5-x5x

Passo 3

Agora escrevo o quociente completo e simplifico:
f(x)-f(5)x-5=5-x5xx-5=5-x5x(x-5)
Observe que 5-x=-(x-5), então:
5-x5x(x-5)=-(x-5)5x(x-5)=-15x

Passo 4

Por fim, tomo o limite quando xto5:
limxto5l(-15xr)=-15cdot5=-125

Resposta

-1/25

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