Dada a função f(x)=xx^2+2, faça o que se pede
(a) calcule f^prime(x)
(b) determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de f no ponto de absciesa x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2} $ e precisa fazer duas coisas:
(a) Calcular a derivada $ f’(x) $.
(b) Descobrir a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto onde $ x = 2 $.
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e equações de reta tangente. Não se preocupe se alguns termos parecerem novos, vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente.
A regra do quociente diz que se você tem uma função na forma $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
f(x) = xx^2 + 2
No nosso caso, $ u = x $ e $ v = x^{2} + 2 $. Vamos encontrar $ u’ $ e $ v’ $:
uv
f'(x) = u'v - uv'v^2

Passo 3

Substituindo $ u $, $ v $, $ u’ $ e $ v’ $ na fórmula da regra do quociente:
u
Vamos simplificar o numerador:
v
u'
Então:
v'

Passo 4

Pronto, encontramos a derivada da função:
f'(x) = -x^2 + 2(x^2 + 2)^2
Isso responde ao item (a) do exercício.
Agora, vamos para o item (b), que pede a equação da reta tangente no ponto onde $ x = 2 $.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(2) $, que é a coordenada $ y $ no ponto de tangência.
f(2)
Então, o ponto de tangência é $ (2, \frac{1}{3}) $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada no ponto $ x = 2 $, ou seja, $ f’(2) $. Isso vai nos dar a inclinação da reta tangente.
x = 2
A inclinação da reta tangente é $ m = -\frac{1}{18} $.

Passo 7

Com a inclinação $ m $ e o ponto $ (2, \frac{1}{3}) $, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
m
Substituindo os valores:
(2, 13)
Vamos simplificar para a forma $ y = mx + b $:
y - y1 = m(x - x1)
y - 13 = -118(x - 2)

Resposta

(a) A derivada da função é $ f’(x) = \frac{-x^{2} + 2}{(x^{2} + 2)^{2}} $.
(b) A equação da reta tangente no ponto onde $ x = 2 $ é $ y = -\frac{1}{18}x + \frac{7}{18} $.

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