Sabendo-se que
é uma funçāo de
definida implicitamente pela equação equaçà
determine o que se pede:
(a) calcule
(b) determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico da curva dada pela equaçĩo no ponto de coordenadas
e
(a) calcule
(b) determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico da curva dada pela equaçĩo no ponto de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função $ y $ de $ x $ que está definida de forma implícita pela equação $ x^{3} + y^{3} = 6x{2}y{2} $. Isso significa que $ y $ não está isolada de um lado da equação. Para resolver o que foi pedido, vamos precisar usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada $ y’ $ mesmo quando $ y $ não está expressa explicitamente em função de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ y’ $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Como a função está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Diferenciando $ x^{3} + y^{3} = 6x{2}y{2} $:
Aplicando as regras de derivação:
Passo 3
Agora, simplificamos a equação resultante:
Queremos isolar $ y’ $, então vamos reunir os termos que contêm $ y’ $ de um lado e os demais do outro:
Fatorando $ y’ $ no lado esquerdo:
Passo 4
Finalmente, isolamos $ y’ $ dividindo ambos os lados pela expressão que o acompanha:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto $ (2, -2) $. Para isso, usamos a fórmula da reta tangente:
onde $ m $ é a inclinação da reta tangente, ou seja, $ y’ $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $.
Primeiro, vamos encontrar $ y’ $ no ponto $ (2, -2) $ substituindo $ x = 2 $ e $ y = -2 $ na expressão de $ y’ $:
Calculando passo a passo:
Numerador:
Denominador:
Então,
Resposta
A equação da reta tangente no ponto $ (2, -2) $ é:
Simplificando:
Ou, rearranjando: