Sabendo-se que y é uma funçāo de x definida implicitamente pela equação equaçà
x^3+y^3=6 x^2 y^2
determine o que se pede:
(a) calcule y^prime
(b) determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico da curva dada pela equaçĩo no ponto de coordenadas x=2 e y=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função $ y $ de $ x $ que está definida de forma implícita pela equação $ x^{3} + y^{3} = 6x{2}y{2} $. Isso significa que $ y $ não está isolada de um lado da equação. Para resolver o que foi pedido, vamos precisar usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada $ y’ $ mesmo quando $ y $ não está expressa explicitamente em função de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ y’ $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Como a função está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Diferenciando $ x^{3} + y^{3} = 6x{2}y{2} $:
y'
Aplicando as regras de derivação:
y

Passo 3

Agora, simplificamos a equação resultante:
3x^2 + 3y^2y' = 12xy^2 + 12x^2y y'
Queremos isolar $ y’ $, então vamos reunir os termos que contêm $ y’ $ de um lado e os demais do outro:
y'
Fatorando $ y’ $ no lado esquerdo:
y'

Passo 4

Finalmente, isolamos $ y’ $ dividindo ambos os lados pela expressão que o acompanha:
y'
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
y' = 12xy^2 - 3x^23y^2 - 12x^2y

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto $ (2, -2) $. Para isso, usamos a fórmula da reta tangente:
(2, -2)
onde $ m $ é a inclinação da reta tangente, ou seja, $ y’ $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $.
Primeiro, vamos encontrar $ y’ $ no ponto $ (2, -2) $ substituindo $ x = 2 $ e $ y = -2 $ na expressão de $ y’ $:
y - y0 = m (x - x0)
Calculando passo a passo:
Numerador:
m
Denominador:
y'
Então,
(x0, y0)

Resposta

A equação da reta tangente no ponto $ (2, -2) $ é:
(2, -2)
Simplificando:
y - (-2) = 79(x - 2)
Ou, rearranjando:
y + 2 = 79x - 149

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