Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
(a) f(x, y)=x^3+2 x y^2-y^4 / x
(e) f(x, y)=cos x^3x+y;
(b) f(x, y)=x^3 y-x^2 y^2(x+8 y)^2;
(f) f(x, y)=sin xx+y;
© f(x, y)=raizx+y(4 x+3 y);
(g) f(x, y)=ln x^2-2 ln y;
(d) f(x, y)=xy^2+raizx^4+y^4;
(h) f(x, y)=ln x^3ln y^3.

Passo 1

A questão pede para testar se cada função de duas variáveis é homogênea e, em caso afirmativo, qual o grau de homogeneidade. O conteúdo é “função homogênea” e precisamos usar a definição: testar f(tx,ty) e ver se aparece um fator t^k multiplicando f(x,y).

Passo 2

Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t>0, valer
f(tx,ty)=t^k,f(x,y)
Ou seja, calculamos f(tx,ty) e tentamos reescrever como t^k f(x,y).

Passo 3

Para (a) f(x,y)=x^3+2xy^2-y^4x. Substituindo:
Logo homogênea de grau 3.

Passo 4

Para (b) f(x,y)=dfracx^3y-x^2y^2(x+8y)^2 Substituindo:
f(tx,ty)=t^3x^3cdot t y - t^2x^2cdot t^2y^2l(t(x+8y)r)^2 =t^4(x^3y-x^2y^2)t^2(x+8y)^2 =t^2,f(x,y)
Logo homogênea de grau 2.

Passo 5

Para © f(x,y)=raizx+y,(4x+3y) Substituindo:
f(tx,ty)=raizt(x+y),(4tx+3ty)=t^1/2raizx+y,t(4x+3y)=t^3/2f(x,y)
Logo homogênea de grau 3/2.

Passo 6

Para (d) f(x,y)=dfracxy^2+raizx^4+y^4 Substituindo:
f(tx,ty)=tx(ty)^2+raiz(tx)^4+(ty)^4 =t xt^2y^2+t^2raizx^4+y^4=t^-1f(x,y)
Logo homogênea de grau -1.

Passo 7

Para (e) f(x,y)=cosx^3x+y Substituindo:
f(tx,ty)=cos(tx)^3t(x+y)=cosl(t^2x^3x+yr)
Isso não é igual a t^kcos(tfracx^3x+y) para nenhum k, logo não é homogênea.

Passo 8

Para (f) f(x,y)=sinxx+y Substituindo:
f(tx,ty)=sintxt(x+y)=sinl(xx+yr)=t^0f(x,y)
Logo homogênea de grau 0.

Passo 9

Para (g) f(x,y)=ln x^2 -2ln y=2ln x -2ln y Substituindo:
f(tx,ty)=2ln(tx)-2ln(ty)=2(ln t+ln x)-2(ln t+ln y)=2ln x-2ln y=f(x,y)
Então homogênea de grau 0.

Passo 10

Para (h) f(x,y)=dfracln x^3ln y^3=dfrac3ln x3ln y=dfracln xln y Substituindo:
f(tx,ty)=ln(tx)ln(ty)=ln t+ln xln t+ln y,
que não se reduz a t^k,f(x,y) para nenhum k, logo não é homogênea.

Resposta

(a) homogênea grau 3; (b) homogênea grau 2; © homogênea grau 3/2; (d) homogênea grau –1; (e) não homogênea; (f) homogênea grau 0; (g) homogênea grau 0; (h) não homogênea.

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