Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
(a)
;
(e)
;
(b)
;
(f)
;
©
;
(g)
;
(d)
;
(h)
.
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Passo 1
A questão pede para testar se cada função de duas variáveis é homogênea e, em caso afirmativo, qual o grau de homogeneidade. O conteúdo é “função homogênea” e precisamos usar a definição: testar f(tx,ty) e ver se aparece um fator t^k multiplicando f(x,y).
Passo 2
Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t>0, valer
Ou seja, calculamos f(tx,ty) e tentamos reescrever como t^k f(x,y).
Passo 3
Para (a)
. Substituindo:
Logo homogênea de grau 3.
Passo 4
Para (b)
Substituindo:
Logo homogênea de grau 2.
Passo 5
Para ©
Substituindo:
Logo homogênea de grau
.
Passo 6
Para (d)
Substituindo:
Logo homogênea de grau
.
Passo 7
Para (e)
Substituindo:
Isso não é igual a
para nenhum k, logo não é homogênea.
Passo 8
Para (f)
Substituindo:
Logo homogênea de grau 0.
Passo 9
Para (g)
Substituindo:
Então homogênea de grau 0.
Passo 10
Para (h)
Substituindo:
que não se reduz a
para nenhum k, logo não é homogênea.
Resposta
(a) homogênea grau 3; (b) homogênea grau 2; © homogênea grau 3/2; (d) homogênea grau –1; (e) não homogênea; (f) homogênea grau 0; (g) homogênea grau 0; (h) não homogênea.