Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí! A questão nos pede para calcular o limite de uma expressão quando
se aproxima de 0 e
se aproxima de 3. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e entender como cada parte se comporta quando fazemos
chegar perto de 0 e
chegar perto de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da expressão:
. A gente pode simplificar isso dividindo cada termo no numerador por
. Então:
Agora, elevando ao quadrado:
Então, a primeira parte da expressão fica
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte:
. Vamos simplificar o que está dentro do cosseno. No numerador, temos
, que pode ser fatorado:
Então, a expressão dentro do cosseno fica:
Passo 4
Vamos analisar o denominador
. Sabemos que
está se aproximando de 3, então
está se aproximando de
. Mas queremos simplificar ainda mais a fração. Observamos que tanto numerador quanto denominador têm fatores relacionados a
e
. Vamos tentar racionalizar o denominador.
Note que
. Portanto:
Assim, a expressão dentro do cosseno simplifica para
.
Passo 5
Agora que simplificamos ambos os termos, nossa expressão original fica:
Vamos calcular o limite dessa expressão quando
e
.
Passo 6
Vamos calcular separadamente os limites de cada parte.
Primeiro, para
:
Quando
e
:
Segundo, para
:
Quando
e
:
Passo 7
Agora, somando os limites das duas partes:
Resposta
O limite é
.