Calcule lim substackx 0 y 3((x^2+x yx)^2+cos (x y-9 xraizy-3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí! A questão nos pede para calcular o limite de uma expressão quando se aproxima de 0 e se aproxima de 3. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e entender como cada parte se comporta quando fazemos chegar perto de 0 e chegar perto de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da expressão: x^2 + xyx = x^2x + xyx = x + y . A gente pode simplificar isso dividindo cada termo no numerador por (x + y)^2 . Então:
Agora, elevando ao quadrado:
Então, a primeira parte da expressão fica .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: xy - 9x = x(y - 9) . Vamos simplificar o que está dentro do cosseno. No numerador, temos x(y - 9)raizy - 3 , que pode ser fatorado:
Então, a expressão dentro do cosseno fica:

Passo 4

Vamos analisar o denominador x(y - 9)raizy - 3 = x(raizy - 3)(raizy + 3)raizy - 3 = x(raizy + 3) . Sabemos que está se aproximando de 3, então está se aproximando de . Mas queremos simplificar ainda mais a fração. Observamos que tanto numerador quanto denominador têm fatores relacionados a e . Vamos tentar racionalizar o denominador.
Note que . Portanto:
Assim, a expressão dentro do cosseno simplifica para .

Passo 5

Agora que simplificamos ambos os termos, nossa expressão original fica:
(x + y)^2 + cos(x(raizy + 3))
Vamos calcular o limite dessa expressão quando e .

Passo 6

Vamos calcular separadamente os limites de cada parte.
Primeiro, para x + y to 0 + 3 = 3 (3)^2 = 9 :
Quando raizy to raiz3 x(raizy + 3) to 0 times (raiz3 + 3) = 0 cos(0) = 1 e :
Segundo, para :
Quando e :

Passo 7

Agora, somando os limites das duas partes:
9 + 1 = 10

Resposta

O limite é .

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