Mostre por indução que:
Para todo a in R, a<0 temos a^2 n>0 e a^2 n-1<0, forall n in N.

Passo 1

A proposta é usar indução em n para mostrar que, dado qualquer a∈ℝ com a<0, temos a²ⁿ>0 e a²ⁿ⁻¹<0. Vamos precisar da definição de indução matemática e das propriedades do produto de números reais (positivo·positivo>0, negativo·positivo<0).

Passo 2

Base de indução (n=1): para n=1, calculamos inline o quadrado e o primeiro ímpar de a:
• Temos a^2·1=a^2>0 pois o quadrado de qualquer real não-nulo é positivo.
• E a^2·1-1=a^1=a<0 por hipótese a<0.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese: suponha que para algum k∈ℕ valha
a^2k>0
a^2k-1<0

Passo 4

Passo indutivo – conclusão: a partir da hipótese, para n=k+1:
a^2(k+1)=a^2k+2=a^2·a^2k. Como a^2>0 e a^2k>0 pela hipótese, o produto é >0.
a^2(k+1)-1=a^2k+1=a·a^2k. Aqui a<0 e a^2k>0, logo o produto é <0.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, as propriedades valem para todo n∈ℕ quando a<0.

Resposta

Mostramos por indução que, para todo a<0 e todo n∈ℕ, vale a^{2n}>0 e a^{2n-1}<0.

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