Mostre por indução que:
Para todo
temos
e
.
Para todo
Passo 1
A proposta é usar indução em n para mostrar que, dado qualquer a∈ℝ com a<0, temos a²ⁿ>0 e a²ⁿ⁻¹<0. Vamos precisar da definição de indução matemática e das propriedades do produto de números reais (positivo·positivo>0, negativo·positivo<0).
Passo 2
Base de indução (n=1): para n=1, calculamos inline o quadrado e o primeiro ímpar de a:
• Temos pois o quadrado de qualquer real não-nulo é positivo.
• E por hipótese a<0.
• Temos
• E
Passo 3
Passo indutivo – hipótese: suponha que para algum k∈ℕ valha
•
•
•
•
Passo 4
Passo indutivo – conclusão: a partir da hipótese, para n=k+1:
• . Como
e
pela hipótese, o produto é >0.
• . Aqui
e
, logo o produto é <0.
•
•
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, as propriedades valem para todo n∈ℕ quando a<0.
Resposta
Mostramos por indução que, para todo a<0 e todo n∈ℕ, vale a^{2n}>0 e a^{2n-1}<0.