Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
ln (1+3n)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência ln (1+3n)^n converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Vamos usar conceitos de limites e propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência: [ln (1+3n)]^n. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com essa expressão conforme n cresce indefinidamente.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que ln(a^b) = b cdot ln(a). Então, podemos reescrever a sequência como:
[ln (1+3n)]^n = ( nln (1+3n) )^-n
Mas isso complica um pouco. Uma abordagem melhor é analisar diretamente o comportamento de ln (1+3n) quando n é grande.

Passo 4

Para valores grandes de n, podemos usar a aproximação do logaritmo natural para argumentos próximos de 1:
ln (1 + x) approx x quando x to 0
Aqui, x = 3n, que tende a 0 conforme n aumenta.

Passo 5

Aplicando essa aproximação:
ln (1 + 3n) approx 3n
Então, a sequência fica aproximadamente:
(3n)^n

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite de (3n)^n quando n to infty. Sabemos que para a < 1, limn to infty a^n = 0.
No nosso caso, 3n < 1 para n > 3, e conforme n cresce, essa fração tende a 0.

Passo 7

Portanto:
limn to infty (3n)^n = 0

Resposta

A sequência ln (1+3n)^n converge e o limite é 0.

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