Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Vamos usar conceitos de limites e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência:
. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com essa expressão conforme
cresce indefinidamente.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a sequência como:
Mas isso complica um pouco. Uma abordagem melhor é analisar diretamente o comportamento de
quando
é grande.
Passo 4
Para valores grandes de
, podemos usar a aproximação do logaritmo natural para argumentos próximos de 1:
Aqui,
, que tende a 0 conforme
aumenta.
Passo 5
Aplicando essa aproximação:
Então, a sequência fica aproximadamente:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite de
quando
. Sabemos que para
,
.
No nosso caso,
para
, e conforme
cresce, essa fração tende a 0.
Passo 7
Portanto:
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.