Calcule:
\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},-1, \frac{e^{-2 t}}{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to\infty do vetor
\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\,-1,\,\frac{e^{-2t}}{t}\right).
As perguntas claras aqui são:
  • Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}.
  • Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}(-1).
  • Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{e^{-2t}}{t}.
    Em seguida combinar esses resultados para obter o limite do vetor.

Passo 2

Fato que usaremos (explicado de forma simples): se um vetor depende de t componente a componente, então
\lim_{t\to\infty}\big(f(t),g(t),h(t)\big) = \big(\lim_{t\to\infty}f(t),\;\lim_{t\to\infty}g(t),\;\lim_{t\to\infty}h(t)\big),
desde que cada limite componente exista (ou seja, seja finito). Portanto podemos calcular cada componente separadamente e depois montar o vetor limite.

Passo 3

Cálculo da primeira componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}.
Estratégia prática: dividir numerador e denominador por t^{2} (o maior grau em t) para ver o comportamento quando t\to\infty. Fazendo isso:
\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} = \frac{t^{2}\!\left(\dfrac{1}{t^{2}}+1\right)}{t^{2}\!\left(\dfrac{1}{t^{2}}-1\right)} = \frac{\dfrac{1}{t^{2}}+1}{\dfrac{1}{t^{2}}-1}.
Agora observamos os limites de cada termo simples quando t\to\infty: \dfrac{1}{t^{2}}\to 0. Assim
\lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} = \frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1.
Intuição curta: termos de maior grau dominam, então (1+t^{2})/(1-t^{2}) se comporta como t^{2}/(-t^{2})=-1 para t grande.

Passo 4

Cálculo da segunda componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}(-1).
Isso é imediato: a função é constante igual a -1 para todo t, logo
\lim_{t\to\infty}(-1) = -1.

Passo 5

Cálculo da terceira componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{e^{-2t}}{t}.
Observação: e^{-2t}\to 0 quando t\to\infty, e t\to\infty. Assim temos uma forma do tipo “zero dividido por infinito”, que tende a 0. Outra forma de ver isso mais explícita é reescrever
\frac{e^{-2t}}{t}=\frac{1}{t\,e^{2t}}.
O denominador t\,e^{2t} cresce sem limite quando t\to\infty (porque e^{2t} cresce muito rápido), logo a fração tende a 0. Também se preferir, nota-se que 1/t\to0 e e^{-2t}\to0, e o produto (1/t)\cdot e^{-2t} tende a 0. Portanto
\lim_{t\to\infty}\frac{e^{-2t}}{t}=0.

Passo 6

Juntando os resultados das três componentes (usando o fato do Passo 2), obtemos o limite do vetor:
\lim_{t\to\infty}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\,-1,\,\frac{e^{-2t}}{t}\right) = (-1,\,-1,\,0).

Resposta

(-1,-1,0)

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