Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
do vetor
As perguntas claras aqui são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Em seguida combinar esses resultados para obter o limite do vetor.
Passo 2
Fato que usaremos (explicado de forma simples): se um vetor depende de
componente a componente, então
desde que cada limite componente exista (ou seja, seja finito). Portanto podemos calcular cada componente separadamente e depois montar o vetor limite.
Passo 3
Cálculo da primeira componente
.
Estratégia prática: dividir numerador e denominador por
(o maior grau em
) para ver o comportamento quando
. Fazendo isso:
Agora observamos os limites de cada termo simples quando
:
. Assim
Intuição curta: termos de maior grau dominam, então
se comporta como
para
grande.
Passo 4
Cálculo da segunda componente
.
Isso é imediato: a função é constante igual a
para todo
, logo
Passo 5
Cálculo da terceira componente
.
Observação:
quando
, e
. Assim temos uma forma do tipo “zero dividido por infinito”, que tende a
. Outra forma de ver isso mais explícita é reescrever
O denominador
cresce sem limite quando
(porque
cresce muito rápido), logo a fração tende a
. Também se preferir, nota-se que
e
, e o produto
tende a
. Portanto
Passo 6
Juntando os resultados das três componentes (usando o fato do Passo 2), obtemos o limite do vetor: