Determine a equação da reta tangente à curva C parametrizada pela função vetorial abaixo, no ponto dado. \vec{\beta}(t)=(\cos t, t, t) e t = \frac{\pi}{3}
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada e um valor de parâmetro:
A função vetorial é \vec{\beta}(t)=\big(\cos t,\; t,\; t\big).
Queremos a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=\dfrac{\pi}{3}.
O que precisa ser determinado:
O ponto da curva em t=\dfrac{\pi}{3}.
Um vetor direção da reta tangente (obtido pela derivada \vec{\beta}'(t) avaliada em t=\dfrac{\pi}{3}).
A equação da reta tangente (pode ser dada na forma paramétrica vetorial e/ou na forma simétrica).
Passo 2
Calcular o ponto da curva em t=\dfrac{\pi}{3}. Substituindo na definição de \vec{\beta}:
Observação prática: da segunda e terceira frações nota-se imediatamente que ao longo da reta vale y=z. Também é comum, na prova, parametrizar usando y como parâmetro porque aqui a componente em y é 1, então s=y-\tfrac{\pi}{3} é conveniente.
Passo 8
Dica rápida para a prova (só um incentivo): calcule sempre o ponto \vec{\beta}(t_0) e a derivada \vec{\beta}'(t_0). Use a forma vetorial paramétrica para responder — é a mais direta e costuma ser aceita sem complicação. Vai dar certo — respira e manda ver!