Determine a equação da reta tangente à curva C parametrizada pela função vetorial abaixo, no ponto dado.
\vec{\beta}(t)=(\cos t, t, t) e t = \frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada e um valor de parâmetro:
  • A função vetorial é \vec{\beta}(t)=\big(\cos t,\; t,\; t\big).
  • Queremos a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=\dfrac{\pi}{3}.
O que precisa ser determinado:
  • O ponto da curva em t=\dfrac{\pi}{3}.
  • Um vetor direção da reta tangente (obtido pela derivada \vec{\beta}'(t) avaliada em t=\dfrac{\pi}{3}).
  • A equação da reta tangente (pode ser dada na forma paramétrica vetorial e/ou na forma simétrica).

Passo 2

Calcular o ponto da curva em t=\dfrac{\pi}{3}. Substituindo na definição de \vec{\beta}:
\vec{\beta}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right),\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}\right).
Lembrando que \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, obtemos
\vec{\beta}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}\right).

Passo 3

Explicar o papel da derivada: para uma curva parametrizada \vec{\beta}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a derivada
\vec{\beta}'(t)=\big(x'(t),y'(t),z'(t)\big)
é um vetor tangente à curva em cada t. Esse vetor dá a direção da reta tangente. Em prova, basta calcular as derivadas das componentes separadamente.

Passo 4

Calcular a derivada de \vec{\beta}(t). As derivadas das componentes são:
  • \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}t = 1.
Portanto
\vec{\beta}'(t)=\big(-\sin t,\;1,\;1\big).
Avaliar em t=\dfrac{\pi}{3}. Como \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\vec{\beta}'\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\;1,\;1\right).
Esse é o vetor direção da reta tangente (ele não é o vetor nulo, então define bem a direção).

Passo 5

Escrever a equação paramétrica vetorial da reta com fórmula padrão: a reta que passa por \vec{r_0} com direção \vec{v} é
\vec{r}(s)=\vec{r_0}+s\,\vec{v},\qquad s\in\mathbb{R}.
Aqui \vec{r_0}=\vec{\beta}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e \vec{v}=\vec{\beta}'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Substituindo:
\vec{r}(s)=\left(\frac{1}{2},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}\right)+s\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\;1,\;1\right),\qquad s\in\mathbb{R}.

Passo 6

Dar as equações paramétricas por componentes (útil na prova para testar pontos):
\begin{cases} x(s)=\dfrac{1}{2}-s\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] y(s)=\dfrac{\pi}{3}+s,\\[6pt] z(s)=\dfrac{\pi}{3}+s. \end{cases}]

Passo 7

Forma simétrica da reta (quando os componentes da direção são não nulos): dividir cada diferença pela respectiva componente da direção:
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-\tfrac{\pi}{3}}{1}=\frac{z-\tfrac{\pi}{3}}{1}.
Observação prática: da segunda e terceira frações nota-se imediatamente que ao longo da reta vale y=z. Também é comum, na prova, parametrizar usando y como parâmetro porque aqui a componente em y é 1, então s=y-\tfrac{\pi}{3} é conveniente.

Passo 8

Dica rápida para a prova (só um incentivo): calcule sempre o ponto \vec{\beta}(t_0) e a derivada \vec{\beta}'(t_0). Use a forma vetorial paramétrica para responder — é a mais direta e costuma ser aceita sem complicação. Vai dar certo — respira e manda ver!

Resposta

\displaystyle \vec{r}(s)=\left(\frac{1}{2},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}\right)+s\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\;1,\;1\right),\quad s\in\mathbb{R}
\displaystyle \frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-\tfrac{\pi}{3}}{1}=\frac{z-\tfrac{\pi}{3}}{1}

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