Calcule \lim _{t \rightarrow t_{o}} F(t) nos casos abaixo.
F(t)=\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}, \frac{e^{t}-1}{t}, \sqrt{t}\right), \quad t_{o}=0

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to 0}F(t)
onde
F(t)=\Bigl(\frac{\sin t}{t},\,\frac{e^{t}-1}{t},\,\sqrt{t}\Bigr).
Para resolver, vamos calcular o limite de cada componente separadamente, usando limites clássicos de funções elementares.

Passo 2

Analisando a primeira componente \frac{\sin t}{t}, usamos o limite fundamental do seno:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 3

Para a segunda componente \frac{e^{t}-1}{t}, reconhecemos a definição de derivada de e^{t} em t=0 ou expandimos em série de Taylor:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.

Passo 4

Na terceira componente \sqrt{t}, como a função raiz é contínua em [0,\infty), temos
\lim_{t\to 0}\sqrt{t}=0.

Passo 5

Reunindo os resultados, as três componentes convergem, respectivamente, para 1, 1 e 0. Logo, o vetor limite é formado por esses valores.

Resposta

\lim_{t\to 0}F(t) = (1,1,0).

Exercícios relacionados