3- Um esqueitista de 60 kg desce a rampa da pista circular. Se ele parte do repouso quando \theta=0^{\circ}. Determine a intensidade da reação normal que a pista exerce sobre ele quando \theta=60^{\circ}. Despreze a dimensão dele para o cáclulo.

Passo 1

O enunciado descreve um esqueitista de massa m=60\;\mathrm{kg} que desliza sem atrito por uma pista circular de raio R, partindo do repouso em \theta=0^\circ. Precisamos usar conservação de energia para encontrar a velocidade em \theta=60^\circ e depois aplicar a segunda lei de Newton na direção radial para achar a reação normal N.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a perda de energia potencial m g h vai para energia cinética \tfrac12 m v^2. Como a descida até \theta corresponde à altura
h = R\,(1-\cos\theta),
temos
m g R(1-\cos\theta) \;=\; \tfrac12\,m\,v^2
e, portanto,
v^2 = 2\,g\,R\,(1-\cos\theta).

Passo 3

No movimento circular, a resultante radial aponta para o centro e é dada por
N - m g \cos\theta = m\,\frac{v^2}{R}.
Assim, a normal é
N = m g \cos\theta \;+\; m\,\frac{v^2}{R}.

Passo 4

Substituindo v^2 de 2gR(1-\cos\theta) em N:
N = m g \cos\theta \;+\; m\,\frac{2gR(1-\cos\theta)}{R} = m g\bigl(\cos\theta + 2(1-\cos\theta)\bigr) = m g\,(2 - \cos\theta).

Passo 5

Para \theta=60^\circ, \cos60^\circ=\tfrac12, e usando g=9{,}8\;\mathrm{m/s^2}:
N = 60\cdot9{,}8\cdot\Bigl(2-\tfrac12\Bigr) = 60\cdot9{,}8\cdot1{,}5 \approx 882\;\mathrm{N}.

Resposta

A intensidade da reação normal quando \theta=60^\circ é aproximadamente 882\;\mathrm{N}.

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