Resolva um dos seguintes itens:
  • Resolva a seguinte EDO via anuladores:
\frac{d^{5} y}{d x^{5}}-\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=x^{3}+e^{x}-e^{-x}
  • Dê a solução do seguinte PVI:
P V I=\left\{\begin{array}{l} x \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=x \\\ y(1)=0 ; \frac{d y}{d x}(1)=1, \frac{d^{2} y}{d x}(1)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem cinco
\frac{d^{5}y}{dx^{5}} - \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = x^{3} + e^{x} - e^{-x}
usando o método dos anuladores (coeficientes indeterminados). Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular para cada termo do segundo membro.

Passo 2

A equação homogênea associada é
\frac{d^{5}y}{dx^{5}} - \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 0,
cujo polinômio característico é
r^{5} - r^{3} = r^{3}(r^{2}-1) = 0.
As raízes são r=0 (multiplicidade 3), r=1 e r=-1. Logo a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2} + C_{4}e^{x} + C_{5}e^{-x}.

Passo 3

Para montar o ansatz do particular, identificamos os anuladores do segundo membro:
  • Para x^{3}, anulador D^{4}.
  • Para e^{x}, anulador D-1.
  • Para e^{-x}, anulador D+1.
    Multiplicando dá D^{4}(D-1)(D+1). Como r=0 já é raiz de ordem 3 da homogênea, usamos polinômio de grau 3 vezes x^{3}, ou seja
y_{1}(x) = A x^{6}+ B x^{5}+ C x^{4}+ D x^{3}.
Como r=1 e r=-1 aparecem simples na homogênea, multiplicamos por x em cada exponencial, propondo
y_{2}(x) = E\,x\,e^{x}, \quad y_{3}(x) = F\,x\,e^{-x}.
O particular será y_{p}=y_{1}+y_{2}+y_{3}.

Passo 4

Calculemos em y_{1}(x)=A x^{6}+B x^{5}+C x^{4}+D x^{3}:
y_{1}''' = 120A x^{3} +60B x^{2} +24C x +6D, \quad y_{1}^{(5)} = 720A x +120B.
Então
y_{1}^{(5)} - y_{1}''' = (720A x +120B) - (120A x^{3}+60B x^{2}+24C x+6D)
deve igualar x^{3}. Igualando coeficientes obtém-se
-120A = 1,\quad -60B = 0,\quad 720A-24C=0,\quad -6D=0,
cuja solução é
A=-\tfrac{1}{120},\;B=0,\;C=-\tfrac{1}{4},\;D=0.
Logo
y_{1}(x)=-\tfrac{1}{120}x^{6}-\tfrac{1}{4}x^{4}.

Passo 5

Para y_{2}(x)=E\,x\,e^{x} calculamos
y_{2}^{(3)}=E\,e^{x}(x+3), \quad y_{2}^{(5)}=E\,e^{x}(x+5),
logo
y_{2}^{(5)}-y_{2}^{(3)}=E\,e^{x}\bigl((x+5)-(x+3)\bigr)=2E\,e^{x}.
Deve valer e^{x}, então 2E=1 e E=\tfrac12.

Passo 6

Para y_{3}(x)=F\,x\,e^{-x} obtemos analogamente
y_{3}^{(3)}=F\,e^{-x}(3-x), \quad y_{3}^{(5)}=F\,e^{-x}(5-x),
portanto
y_{3}^{(5)}-y_{3}^{(3)}=F\,e^{-x}\bigl((5-x)-(3-x)\bigr)=2F\,e^{-x}.
Deve valer -e^{-x}, logo 2F=-1 e F=-\tfrac12.

Passo 7

Somando tudo, a solução particular é
y_{p}(x) = -\tfrac{1}{120}x^{6} - \tfrac{1}{4}x^{4} + \tfrac12\,x\,e^{x} - \tfrac12\,x\,e^{-x}.
Assim a solução geral é
y(x) = C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2} + C_{4}e^{x} + C_{5}e^{-x} - \tfrac{1}{120}x^{6} - \tfrac{1}{4}x^{4} + \tfrac12\,x\,e^{x} - \tfrac12\,x\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2} + C_{4}e^{x} + C_{5}e^{-x} - \frac{1}{120}x^{6} - \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{2}\,x\,e^{x} - \frac{1}{2}\,x\,e^{-x}.

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