Resolva um dos seguintes itens:
- Resolva a seguinte EDO via anuladores:
- Dê a solução do seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem cinco
usando o método dos anuladores (coeficientes indeterminados). Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular para cada termo do segundo membro.
Passo 2
A equação homogênea associada é
cujo polinômio característico é
As raízes são
(multiplicidade 3),
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para montar o ansatz do particular, identificamos os anuladores do segundo membro:
- Para
, anulador . - Para
, anulador . - Para
, anulador .
Multiplicando dá. Como já é raiz de ordem 3 da homogênea, usamos polinômio de grau 3 vezes , ou seja
Como
e
aparecem simples na homogênea, multiplicamos por
em cada exponencial, propondo
O particular será
.
Passo 4
Calculemos em
:
Então
deve igualar
. Igualando coeficientes obtém-se
cuja solução é
Logo
Passo 5
Para
calculamos
logo
Deve valer
, então
e
.
Passo 6
Para
obtemos analogamente
portanto
Deve valer
, logo
e
.
Passo 7
Somando tudo, a solução particular é
Assim a solução geral é