Calcule:
lim x 0(12 x-1e^2 x-1);

Passo 1

O enunciado pede
limxto0l(12x-1e^2x-1r)
Aqui o conteúdo é cálculo de limite de forma indeterminada do tipo infty-infty. Para resolver, vamos reescrever com um denominador comum e usar séries de Taylor em e^2x em torno de x=0.

Passo 2

Colocamos as frações sobre o mesmo denominador:
12x-1e^2x-1 =e^2x-1 - 2x2x,(e^2x-1)

Passo 3

Agora expandimos e^2x em série de Taylor até termos de ordem x^2:
e^2x = 1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)
Logo o numerador vira
e^2x-1-2x = l(1+2x+2x^2+O(x^3)r) -1 -2x =2x^2 + O(x^3)

Passo 4

O denominador fica
2x,(e^2x-1) =2xl(2x+2x^2+O(x^3)r) =4x^2 + O(x^3)

Passo 5

Portanto a expressão é
2x^2 + O(x^3)4x^2 + O(x^3) longrightarrow 24 =12 quando xto0

Resposta

12

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