Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’
Passo 1
O enunciado pede para a matriz abaixo que a gente ache os autovalores, os autovetores e a dimensão de cada autoespaço. O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e de autovetores resolvendo
.
Passo 2
Vamos montar o polinômio característico de
, que é dado por
Como o determinante de uma matriz
vale
, temos
Passo 3
Para encontrar os autovalores, igualamos o polinômio a zero:
logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Agora achamos o autoespaço associado a
. Resolvemos
Isso dá as equações
Da segunda vem
, e
fica livre. Logo todo vetor do autoespaço é da forma
Passo 5
Concluímos que o autovalor
tem espaço próprio gerado por
. Como há apenas um gerador, a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) é 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.
Resposta
Autovalor:
(multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: todos os múltiplos de .
Dimensão do autoespaço: 1.
Autovetores: todos os múltiplos de
Dimensão do autoespaço: 1.