Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede para a matriz abaixo que a gente ache os autovalores, os autovetores e a dimensão de cada autoespaço. O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e de autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0.
A = 1 & 01 & 1

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico de , que é dado por
Como o determinante de uma matriz vale , temos

Passo 3

Para encontrar os autovalores, igualamos o polinômio a zero:
(1-lambda)^2 = 0
logo o único autovalor é
lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora achamos o autoespaço associado a . Resolvemos
Isso dá as equações
Da segunda vem , e fica livre. Logo todo vetor do autoespaço é da forma

Passo 5

Concluímos que o autovalor lambda=1 tem espaço próprio gerado por l(0,1)^Tr. Como há apenas um gerador, a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) é 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Resposta

Autovalor: lambda=1 (multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: todos os múltiplos de l(0,1r)^T.
Dimensão do autoespaço: 1.

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