Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
e
;
;
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
e pede para verificar que
são soluções linearmente independentes e, em seguida, determinar a solução geral. Vamos usar a equação característica, o teste do wronskiano e a fatoração do polinômio característico.
Passo 2
Substituindo
na EDO, obtemos a equação característica
Para verificar que
são raízes, calculemos com
:
. Então
Logo
satisfazem
, e as soluções complexas
geram as reais
.
Passo 3
Para checar a independência linear de
e
, calculamos o wronskiano:
Como
para todo
,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Para achar as demais raízes, dividimos o polinômio característico por
obtendo
Passo 5
As raízes do segundo fator são
que geram as soluções reais
Passo 6
A solução geral da EDO é a combinação linear das quatro soluções independentes:
onde
são constantes reais.