Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
y1(x)=e^x cos x e y2(x)=e^x sen x; y^(4)-6 y^prime prime prime+19 y^prime prime-26 y^prime+18 y=0;

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^(4) - 6y^primeprimeprime + 19y^primeprime - 26y^prime + 18y = 0
e pede para verificar que
y1(x)=e^xcos x, y2(x)=e^xsin x
são soluções linearmente independentes e, em seguida, determinar a solução geral. Vamos usar a equação característica, o teste do wronskiano e a fatoração do polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na EDO, obtemos a equação característica
r^4 - 6r^3 + 19r^2 - 26r + 18 = 0
Para verificar que r=1pm i são raízes, calculemos com z=1+i:
,z^2=2i,;z^3=-2+2i,;z^4=-4. Então
p(z)=z^4 - 6z^3 + 19z^2 - 26z + 18 = -4 -6(-2+2i) +19(2i) -26(1+i) +18 = 0
Logo 1pm i satisfazem p(r)=0, e as soluções complexas e^(1pm i)x geram as reais y1,y2.

Passo 3

Para checar a independência linear de y1 e y2, calculamos o wronskiano:
W(y1,y2) =dety1 & y2 y1' & y2' =e^2xl(cos^2x+sin^2xr) =e^2xneq0
Como Wneq0 para todo x, y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 4

Para achar as demais raízes, dividimos o polinômio característico por
r^2 - 2r + 2,
obtendo
r^4 - 6r^3 + 19r^2 - 26r + 18 =(r^2 - 2r + 2),(r^2 - 4r + 9)

Passo 5

As raízes do segundo fator são
r^2 - 4r + 9 = 0 ;Longrightarrow; r = 4pmraiz16-362 =2pm iraiz5,
que geram as soluções reais
e^2xcosl(raiz5,xr) e e^2xsinl(raiz5,xr)

Passo 6

A solução geral da EDO é a combinação linear das quatro soluções independentes:
y(x) = C1,e^xcos x + C2,e^xsin x + C3,e^2xcosl(raiz5,xr) + C4,e^2xsinl(raiz5,xr),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes reais.

Resposta

y(x) = C1,e^xcos x + C2,e^xsin x + C3,e^2xcosl(raiz5,xr) + C4,e^2xsinl(raiz5,xr)

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