Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, funções trigonométricas e a técnica de logaritmização para transformar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função à medida que $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ 0^{+} $).
- $ \operatorname{sen}(4x) $ se aproxima de 0 porque $ \operatorname{sen}(0) = 0 $.
- $ \operatorname{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} $ tende para $ +\infty $ já que $ \operatorname{sen}(x) $ tende para 0 e $ \cos(x) $ tende para 1.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ 1^{\infty} $. Para resolver isso, vamos usar a técnica de logaritmização.
Passo 3
Vamos definir o limite original como $ L $:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite da expressão dentro do logaritmo:
Sabemos que quando $ x $ é pequeno, $ \ln(1 + y) \approx y $ para $ y $ próximo de 0. Portanto:
Então, o limite fica:
Passo 5
Substituindo $ \operatorname{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} $:
Passo 6
Vamos simplificar $ \frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(x)} $. Sabemos que para $ x $ próximo de 0:
Portanto:
E $ \cos(x) \approx 1 $ quando $ x $ tende a 0.
Passo 7
Substituindo as aproximações:
Então:
Resposta
Portanto, o limite é: