Calcule
lim x 0^+(1+sen(4 x))^cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim x 0^+(1+sen(4 x))^cotg(x)
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, funções trigonométricas e a técnica de logaritmização para transformar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função à medida que $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ 0^{+} $).
  • $ \operatorname{sen}(4x) $ se aproxima de 0 porque $ \operatorname{sen}(0) = 0 $.
  • $ \operatorname{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} $ tende para $ +\infty $ já que $ \operatorname{sen}(x) $ tende para 0 e $ \cos(x) $ tende para 1.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ 1^{\infty} $. Para resolver isso, vamos usar a técnica de logaritmização.

Passo 3

Vamos definir o limite original como $ L $:
L
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
L = lim x 0^+(1+sen(4 x))^cotg(x)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite da expressão dentro do logaritmo:
lim x 0^+ cotg(x) cdot ln(1 + sen(4x))
Sabemos que quando $ x $ é pequeno, $ \ln(1 + y) \approx y $ para $ y $ próximo de 0. Portanto:
x
Então, o limite fica:
ln(1 + y) approx y

Passo 5

Substituindo $ \operatorname{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} $:
cotg(x) = cos(x)sen(x)

Passo 6

Vamos simplificar $ \frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(x)} $. Sabemos que para $ x $ próximo de 0:
sen(4x)sen(x)
Portanto:
x
E $ \cos(x) \approx 1 $ quando $ x $ tende a 0.

Passo 7

Substituindo as aproximações:
lim x 0^+ cos(x) cdot sen(4x)sen(x) approx 1 cdot 4 = 4
Então:
ln(L) = 4

Resposta

Portanto, o limite é:
L = e^4

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