A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto (x, y, z) com vetor posição r=lang<= x, y, zrang<= é
F(r)=k r|r|^3
onde k é uma constante. Encontre o trabalho feito quando a partícula se move ao longo da hélice r(theta)=raiz2 cos theta i+2 theta j+raiz2 sin theta k com pi2 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força elétrica quando uma partícula se move ao longo de uma hélice específica. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, especialmente o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória. Para isso, vamos precisar entender como calcular uma integral de linha, onde vamos integrar o produto escalar da força pelo deslocamento ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é dada por:
F(r) = k r|r|^3
Aqui, r é o vetor posição da partícula, e k é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a trajetória da partícula. Ela se move ao longo da hélice dada por:
r(theta) = raiz2 cos theta , i + 2 theta , j + raiz2 sin theta , k
com pi2 <= theta <= 2pi.

Passo 4

Para calcular o trabalho realizado pela força ao longo dessa trajetória, usamos a fórmula do trabalho para movimentos em trajetórias curvas:
W = integralC F cdot dr
Isso significa que vamos integrar o produto escalar da força F pelo vetor deslocamento dr ao longo da curva C.

Passo 5

Vamos parametrizar a trajetória usando o parâmetro theta. Primeiro, calculamos a derivada de r(theta) em relação a theta para encontrar dr:
drdtheta = -raiz2 sin theta , i + 2 , j + raiz2 cos theta , k
Então, dr = drdtheta dtheta.

Passo 6

Agora, substituímos r(theta) na expressão da força F:
F(r(theta)) = k r(theta)|r(theta)|^3
Primeiro, vamos calcular |r(theta)|:
|r(theta)| = raiz (raiz2 cos theta)^2 + (2 theta)^2 + (raiz2 sin theta)^2 = raiz2 cos^2 theta + 4 theta^2 + 2 sin^2 theta = raiz4 theta^2 + 2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raiz4 theta^2 + 2 = raiz2(2 theta^2 + 1)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot drdtheta:
F cdot drdtheta = k r(theta)|r(theta)|^3 cdot drdtheta
Isso simplifica para:
k|r(theta)|^3 ( raiz2 cos theta (-raiz2 sin theta) + 2 cdot 2 theta + raiz2 sin theta cdot raiz2 cos theta )
Simplificando os termos:
k|r(theta)|^3 ( -2 cos theta sin theta + 4 theta + 2 sin theta cos theta ) = k|r(theta)|^3 (4 theta)

Passo 8

Agora, sabemos que o trabalho é a integral desse produto escalar de theta = pi2 a theta = 2pi:
Simplificando:

Passo 9

Calculando a integral:
W = 4 k2^3/2 cdot ( -12 raiz2 (2pi)^2 + 1 - ( -12 raiz2 (pi2)^2 + 1 ) ) = 4 k2^3/2 cdot ( -12 raiz8 pi^2 + 1 + 12 raizpi^22 + 1 )
Simplificando os fatores:
W = 4 k2^3/2 cdot 2 ( 1raizpi^22 + 1 - 1raiz8 pi^2 + 1 ) = k2^1/2 ( 1raizpi^22 + 1 - 1raiz8 pi^2 + 1 )

Passo 10

Finalmente, podemos simplificar a expressão para o trabalho:
W = kraiz2 ( 1raizpi^22 + 1 - 1raiz8 pi^2 + 1 )

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da hélice é:
W = kraiz2 ( 1raizpi^22 + 1 - 1raiz8 pi^2 + 1 )

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