A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto
com vetor posição
é
onde
é uma constante. Encontre o trabalho feito quando a partícula se move ao longo da hélice
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força elétrica quando uma partícula se move ao longo de uma hélice específica. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, especialmente o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória. Para isso, vamos precisar entender como calcular uma integral de linha, onde vamos integrar o produto escalar da força pelo deslocamento ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é dada por:
Aqui,
é o vetor posição da partícula, e
é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a trajetória da partícula. Ela se move ao longo da hélice dada por:
com
.
Passo 4
Para calcular o trabalho realizado pela força ao longo dessa trajetória, usamos a fórmula do trabalho para movimentos em trajetórias curvas:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar da força
pelo vetor deslocamento
ao longo da curva
.
Passo 5
Vamos parametrizar a trajetória usando o parâmetro
. Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da força
:
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Isso simplifica para:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, sabemos que o trabalho é a integral desse produto escalar de
a
:
Simplificando:
Passo 9
Calculando a integral:
Simplificando os fatores:
Passo 10
Finalmente, podemos simplificar a expressão para o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo da hélice é: