Calcule:
lim x 0(1+sin x)^1 / 2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0(1+sin x)^1/(2x).
Isso é uma forma indeterminada do tipo 1^infty, e para resolver a gente costuma passar para o logaritmo e usar a exponencial.

Passo 2

Definimos
L = limxto0(1+sin x)^1/(2x)
Como L>0, podemos escrever
ln L = limxto0lnl(1+sin xr)2x,
e então ao fim teremos L = e^ln L.

Passo 3

Precisamos calcular
limxto0lnl(1+sin xr)2x
Essa é uma forma 0/0, então vamos usar expansões de Taylor para sin x e para ln(1+u).

Passo 4

Para pequenos x vale
sin x = x - x^36 + O(x^5),
e para uto0
ln(1+u) = u - u^22 + O(u^3)
Tomando u=sin x, temos
lnl(1+sin xr) = sin x - sin^2 x2 + O(sin^3 x) = l(x - x^36r) - 12l(x^2 + O(x^4)r) + O(x^3) = x - x^22 + O(x^3)
Dividindo por 2x,
lnl(1+sin xr)2x = 12 - x4 + O(x^2)
e, portanto,
limxto0lnl(1+sin xr)2x = 12

Passo 5

Como ln L = tfrac12, concluímos
L = e^1/2

Resposta

e^1/2

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