Calcule:
lim x 0 (1+x)^p-1x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0(1+x)^p-1x,
que é exatamente a definição da derivada no ponto x=0 da função f(x)=(1+x)^p. Para resolver, vamos usar a regra da derivação de potências generalizadas.

Passo 2

Defina f(x)=(1+x)^p. Pela regra de derivação para potências,
f'(x)=p,(1+x)^p-1
Em particular, em x=0 temos
f'(0)=p,(1+0)^p-1=p

Passo 3

Pela definição de derivada,
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0 =limxto0(1+x)^p-1x
Portanto, o limite vale p.

Resposta

p

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